Analyse statistique de deux caractères quantitatifs
Exemple d'illustration
La fréquentation touristique d'une station balnéaire est donnée dans le tableau suivant où le nombre de touristes est exprimé en milliers :
Année |
2018 |
2019 |
2020 |
2021 |
2022 |
2023 |
2024 |
2025 |
$x$ (rang de l'année) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
$y$ (nombre de touristes) |
24,4 |
26,3 |
27,8 |
29,5 |
30,7 |
32,8 |
34,4 |
35,7 |
Pour représenter les données nous réalisons un nuage de points, en mettant en abscisse les rangs des années et en ordonnée le nombre de touristes correspondant (en milliers).
Remarque
Sur l'axe des ordonnées, la graduation commence à $24$, car la plus petite valeur de $y$ est $24{,}4$. Cela permet d'éviter un espace vide trop important sur le bas du graphique.
Dans une population, on considère deux caractères quantitatifs dont les valeurs sont respectivement $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ et $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$. Le point moyen du nuage de points associé à ces données est le point $\mathrm{G}$ de coordonnées :
$x_G=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \qquad\text{et}\qquad y_G=\dfrac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}$.
Calculons les coordonnées du point moyen $\mathrm{G}$ du nuage de points de l'étude de la fréquentation touristiques :
- $x_\mathrm{G}=\dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}=\dfrac{9}{2}=4,5$
- $y_\mathrm{G}=\dfrac{24,4+26,3+27,8+29,5+30,7+32,8+34,4+35,7}{8}=30,2$
Donc $\mathrm{G}\left(4,5~;~30,2\right)$.
Nous pouvons alors le placer sur le graphique :
L'ajustement affine d'un nuage de points consiste à déterminer l'équation réduite d'une droite qui passe au plus près de l'ensemble des points du nuage.
Pour trouver l'équation réduite d'une droite d'ajustement pour notre exemple d'illustration nous allons utiliser la méthode de Mayer.
Nous commençons par calculer les coordonnées du point moyen $\mathrm{G}_1$ des quatre premiers points :
- $x_\mathrm{G_1}=\dfrac{1+2+3+4}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}=2,5$
- $y_\mathrm{G_1}=\dfrac{24,4+26,3+27,8+29,5}{4}=\dfrac{108}{4}=27$
Puis nous calculons les coordonnées du point moyen $\mathrm{G}_2$ des quatre derniers points :
- $x_\mathrm{G_2}=\dfrac{5+6+7+8}{4}=\dfrac{26}{4}=\dfrac{13}{2}=6,5$
- $y_\mathrm{G_2}=\dfrac{30,7+32,8+34,4+35,7}{4}=\dfrac{133,6}{4}=33,4$
La droite d'ajustement de Mayer est la droite $(\mathrm{G_1G_2})$, nous pouvons la tracer sur le dessin :
Nous pouvons maintenant déterminer son équation réduite $y=mx+p$.
Son coefficient directeur est $m=\dfrac{y_\mathrm{G_2}-y_\mathrm{G_1}}{x_\mathrm{G_2}-x_\mathrm{G_1}}=\dfrac{33,4-27}{6,5-2,5}=1,6$.
Donc l'équation s'écrit $y=1,6x+p$ ; comme le point $\mathrm{G_1}$ appartient à la droite nous avons en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $\mathrm{G_1}$ :
$27=1,6\times 2,5+p$ et donc $p=27-1,6\times 2,5=23$.
Par conséquent la droite d'ajustement de Mayer a pour équation réduite $y=1,6x+23$.
En considérant que la fréquentation touristiques continue de suivre ce modèle dans le futur, nous pouvons estimer, par exemple, la fréquentation touristique en 2030, en remplaçant $x$ par $13$ dans l'expression $1,6x+23$ : $1,6\times 13+23=43,8$.
On peut prévoir que la fréquentation touristique en 2030 sera de 43,8 milliers de touristes.
Nous avons réalisé une extrapolation.
Remarque
Pour réaliser un ajustement affine, on peut aussi utiliser la méthode des moindres carrés qui consiste à trouver l'équation réduite d'une droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et la droite.