Exercice 5

On considère la série statistique suivante :

Groupe 1 Groupe 2
$x_i$ $1$ $2$ $3$ $6$ $8$ $10$
$y_i$ $-2$ $-3$ $2$ $4$ $5$ $7$

  1. Tracer le nuage de points associé.

  2. Calculer les coordonnées des points moyens $\mathrm{G}_1$ et $\mathrm{G}_2$ de chacun des deux groupes de données de la série.

  3. Placer les points $\mathrm{G}_1$ et $\mathrm{G}_2$ sur le graphique et tracer la droite de Mayer associée. Déterminer son équation réduite.

  1.  

    $1$
    $2$
    $3$
    $4$
    $5$
    $6$
    $7$
    $8$
    $9$
    $10$
    $-3$
    $-2$
    $-1$
    $1$
    $2$
    $3$
    $4$
    $5$
    $6$
    $7$

  2. Coordonnées de $\mathrm{G}_1$ :

    $x_{\mathrm{G}_1}=\dfrac{1+2+3}{3}=\dfrac{6}{3}=2$

    $y_{\mathrm{G}_1}=\dfrac{-2-3+2}{3}=\dfrac{-3}{3}=-1$

    Donc $\mathrm{G}_1\left(2~;~-1\right)$

    Coordonnées de $\mathrm{G}_2$ :

    $x_{\mathrm{G}_2}=\dfrac{6+8+10}{3}=\dfrac{24}{3}=8$

    $y_{\mathrm{G}_2}=\dfrac{4+5+7}{3}=\dfrac{16}{3}$

    Donc $\mathrm{G}_2\left(8~;~\dfrac{16}{3}\right)$

  3.  

    $1$
    $2$
    $3$
    $4$
    $5$
    $6$
    $7$
    $8$
    $9$
    $10$
    $-3$
    $-2$
    $-1$
    $1$
    $2$
    $3$
    $4$
    $5$
    $6$
    $7$
    $\mathrm{G}_1$
    $\mathrm{G}_2$

    Déterminons l'équation réduite de la droite qui passe par les points $\mathrm{G}_1\left(2~;~-1\right)$ et $\mathrm{G}_2\left(8~;~\dfrac{16}{3}\right)$.

    Le coefficient directeur de cette droite est : $m=\dfrac{\dfrac{16}{3}-(-1)}{8-2} =\dfrac{\dfrac{19}{3}}{6} =\dfrac{19}{3}\times \dfrac{1}{6} =\dfrac{19}{18}$.

    L'équation réduite est donc de la forme $y=\dfrac{19}{18}x+p$.

    Comme la droite passe par $\mathrm{G}_1\left(2 ; -1\right)$, on a :

    $-1=\dfrac{19}{18}\times2+p \Longleftrightarrow -1=\dfrac{19}{9}+p \Longleftrightarrow p=-1-\dfrac{19}{9}=-\dfrac{9}{9}-\dfrac{19}{9}=-\dfrac{28}{9}$.

    Ainsi, l'équation réduite de la droite de Mayer est : $\boxed{y=\dfrac{19}{18}x-\dfrac{28}{9}}$.