Exercice 1

En 2025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de ${20 000}$ €. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à ${22 000}$ €.

Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années. Avec un placement, le capital augmente chaque année de $200 $ € par rapport au capital de l'année précédente.

On note $a_{n}$ la somme disponible en $2025+n$.

On a donc $a_{0}={20 000}$.

  1. Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.

    1. Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ pour tout entier naturel $n$.

    2. En déduire la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$. Préciser sa raison.

  3. Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$.

  4. À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

  1. $a_1=a_0+200=20~000+200=20~200$

    $a_2=a_1+200=20~200+200=20~400$

    • Pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=a_n+200$
    • La suite $(a_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=200$.
  3. Pour tout entier naturel $n$ : $a_n=a_0+nr=20~000+200n$

  4. Résolvons l'inéquation $a_n\geqslant 22~000$ :

    $\begin{aligned} 20~000+200n\geqslant 22~000 &\Longleftrightarrow 200n\geqslant 22~000-20~000\\ &\Longleftrightarrow 200n\geqslant 2~000\\ &\Longleftrightarrow n\geqslant \dfrac{2~000}{200}\\ &\Longleftrightarrow n\geqslant 10 \end{aligned}$

    C'est au bout de 10 ans qu'ils auront la somme nécessaire pour leur projet, c'est-à-dire en $2025+10=2035$.