Une suite est une série de nombre réels.
Chaque nombre réel de la suite est appelé terme.
Les termes d'une suite sont numérotés (en commençant le plus souvent à 0 ou 1).
Ainsi chaque terme de la suite a un numéro appelé rang.
Le terme de rang $n$ de la suite est noté $u_n$ (se lit «$u$ indice $n$»).
La suite est notée $(u_n)$.
Exemple
Voici les premiers termes de la suite $(u_n)$ des nombres entiers positifs impairs où on commence à numéroter les termes à partir de $0$ :
- $u_0=1$ ;
- $u_1=3$ ;
- $u_2=5$ ;
- etc.
Une suite arithmétique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre appelé raison et noté $r$ on peut la définir par :
$\left\{\begin{aligned} &u_0=a\qquad \text{($a$ étant un nombre réel fixé)}\\ &u_{n+1}=u_n+r \end{aligned}\right.$
On dit que la suite est définie par récurrence.
Exemple
Début janvier 2026, un propriétaire, possède $11 500$ euros sur un compte.
Chaque mois il crédite ce compte avec le revenu de la location d'un appartement qui s'élève à $750$ euros.
On peut modéliser la situation à l'aide d'une suite arithmétique $(u_n)$.
Notons, $u_0$ le capital initial sur le compte du propriétaire : $u_0=11 500$.
La raison de la suite arithmétique est $r=750$.
Le terme $u_n$ est le capital après $n$ mois de location.
On a la relation de récurrence : $u_{n+1}=u_n+750$.
$u_0=11 500$
$u_1=11 500+750=12 250$
$u_2=12 250+750=13 000$
$u_3=13 000+750=13 750$
etc.
On considère une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$ dont le premier terme est $u_0$.
Pour tout entier naturel $n$ : $u_n=u_0+n\times r$
C'est la formule explicite de la suite arithmétique.
Exemple
Dans l'exemple du propriétaire vu ci-dessus, la somme qu'il aura sur son compte au bout de $n$ mois est donnée par la formule explicite :
$u_n=11500+750n$
Grâce à cette formule on peut trouver directement, par exemple, la somme que le propriétaire aura sur son compte au bout de 10 mois :
$u_{10}=11500+750\times 10=19 000$.
Pour obtenir la représentation graphique d'une suite on place dans un repère les points de coordonnées $(n ; u_n)$.
Dans le cas d'une suite arithmétique les points obtenus sont alignés.
Si la suite arithmétique est définie par son premier terme $u_0$ et par sa raison $r$, les points obtenus sont des points de la droite d'équation $y=rx+u_0$.
Exemple
Voici la représentation graphique de la suite arithmétique qui modélise la fortune du propriétaire :
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$, alors cette suite est :
strictement croissante lorsque $r>0$ ;
constante lorsque $r=0$ ;
strictement décroissante lorsque $r<0$.
Exemple
Dans l'exemple du propriétaire, la raison de la suite est $r=750>0$, donc la suite considérée est strictement croissante.