Exercice 10

Dans chacun des cas suivants dressez le tableau de signes de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

  1. $f(x)=3-5x$

  2. $f(x)=-2x^2-8x$

  3. $f(x)=x^2+5$

  4. $f(x)=(3-x)^2$

  5. $f(x)=x^2-4x+3$

  6. $f(x)=x^2-10x+28$

  1. L'expression $3-5x$ est une expression du premier degré, nous cherchons sa racine :

    $3-5x=0 \Longleftrightarrow -5x=-3 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{5}$

    L'expression $3-5x$ peut s'écrire sous la forme $mx+p$ avec $m=-5<0$, par conséquent nous avons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $\dfrac{3}{5}$ $+\infty$
    Signe de
    $3 - 5x$    		 $+$ $0$ $-$

  2. Nous pouvons directement factoriser l'expression : $-2x^2-8x=-2x(x+4)$.

    Par conséquent ses racines sont $x_1=0$ et $x_2=-4$

    L'expression $-2x^2-8x$ peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-2<0$, par conséquent nous avons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $-4$ $0$ $+\infty$
    Signe de
    $-2x^2-8x$    		 $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

  3. Il est évident que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2+5>0$, par conséquent nous avons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $+\infty$
    Signe de
    $x^2+5$    		 $+$

  4. L'expression $(3-x)^2$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, sauf pour $x=3$ où elle s'annule, par conséquent nous avons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $3$ $+\infty$
    Signe de
    $(3-x)^2$    		 $+$ $0$ $+$

  5. Nous remarquons que $1$ est racine évidente du trinôme du second degré $x^2-4x+3$, donc il a une autre racine qui est $3$.

    Par ailleurs $x^2-4x+3$ s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=1>0$, nous en déduisons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $1$ $3$ $+\infty$
    Signe de
    $x^2-4x+3$    		 $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

  6. L'expression $x^{2}-10x+28$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

    $a=1$ ; $b=-10$ et $c=28$.

    Calculons son discriminant $\Delta$ :

    $\Delta=b^2-4ac=\left(-10\right)^2-4\times1\times28=100-112=-12$

    Nous avons $\Delta<0$, donc le trinôme $x^{2}-10x+28$ n'a pas de racine dans l'ensemble des nombres réels.

    Comme $a>0$, nous avons le tableau de signes :

    $x$ $-\infty$ $+\infty$
    Signe de
    $x^2-10x+28$    		 $+$