Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \mathrm{I} , \mathrm{J} )$.
On considère le cercle de centre $\mathrm{O}$ et de rayon 1.
Soit $\mathrm{M}$ un point de ce cercle, on considère alors l'angle $\widehat{\mathrm{IOM}}$ et on note $\ell$ la longueur de l'arc $\overset{\smash{\large\frown}}{\mathrm{IM}}$.
1. Quelle est la valeur exacte de la longueur du cercle ? Du demi-cercle ?
2. Compléter le tableau suivant :
| $\widehat{\mathrm{IOM}}$ en degrés | 180 | 90 | 30 | 120 | ||||
| longueur de $\overset{\Large\frown}{\mathrm{IM}}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
3. Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\mathrm{IOM}}$ lorsque l'arc $\overset{\smash{\large\frown}}{\mathrm{IM}}$ a une longueur d'une unité ?
1. La longueur du cercle de rayon $r$ est $2\pi\times r$, donc si $r=1$, la longueur est égale à $2\pi$.
La longueur du demi-cercle est égale à $\pi$.
| $\widehat{\mathrm{IOM}}$ en degrés | 180 | 90 | 45 | 60 | 30 | 120 | 135 | 150 |
| longueur de $\overset{\Large\frown}{\mathrm{IM}}$ | $\pi$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
3. En proportion de la longueur du demi-cercle de longueur $\pi$, l'arc de longueur $1$ représente $\dfrac{1}{\pi}$ ce qui donne un angle $\widehat{\mathrm{IOM}}$ de mesure $\dfrac{1}{\pi}\times 180\approx 57,3$ degrés.