Remarquons que $\widehat{\mathrm{IOM}}=\dfrac{\pi}{3} \text{rad}={60^\circ}$.

Par conséquent le triangle $\mathrm{IOM}$ isocèle en $\mathrm{O}$ a l'angle à son sommet principal qui mesure $60^\circ$, donc c'est un triangle équilatéral.

Le point $\mathrm{A}$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{M}$ sur l'axe des abscisses, alors la droite $(\mathrm{MA})$ est la hauteur issue de $\mathrm{M}$ dans le triangle $\mathrm{IOM}$ qui est équilatéral donc elle coupe le côté opposé en son milieu, c'est à dire que $\mathrm{OA}=\dfrac{1}{2}$.

Or $\mathrm{OA}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$.

Le point $\mathrm{B}$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{M}$ sur l'axe des ordonnées.

Dans le triangle $\mathrm{MOB}$ rectangle en $\mathrm{B}$, on utilise la propriété de Pythagore :

$\mathrm{OB}^2={\mathrm{OM}^2-\mathrm{BM}^2} ={1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}}$

• $\mathrm{OM}=1$ parce que $\mathrm{[OM]}$ est un rayon du cercle trigonométrique ;

• $\mathrm{BM}=\mathrm{OA}=\dfrac{1}{2}$.

donc $\mathrm{OB}={\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.

2. Cette fois $\widehat{\mathrm{IOM}}=\dfrac{\pi}{4}~\text{rad}={45^\circ}$ et nous avons la figure :

Ainsi les triangles $\mathrm{OAM}$ et $\mathrm{OBM}$ sont des triangles rectangles isocèles et par conséquent $\mathrm{OA}=\mathrm{AM}=\mathrm{OB}=\mathrm{BM}$.

Calculons, par exemple, la longueur $\mathrm{OA}$ dans le triangle rectangle $\mathrm{OAM}$ :

En utilisant la propriété de Pythagore nous avons :

$\mathrm{OA}^2=\mathrm{OM}^2-\mathrm{AM}^2=1-\mathrm{AM}^2$.

Comme $\mathrm{OA}=\mathrm{AM}$ il vient :

$\mathrm{OA}^2=1-\mathrm{OA}^2\Longleftrightarrow 2 \mathrm{OA}^2=1 \Longleftrightarrow \mathrm{OA}^2=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \mathrm{OA}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Par conséquent $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.