Pour répondre aux questions nous considérons le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O~;~I~,~J}\right)$.

1. Nous avons : $\begin{cases} \cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[2.5ex] \sin(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

Nous plaçons sur le cercle trigonométrique le point $\mathrm{M}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{- \sqrt{2}}{2}\right)$ (ce point appartient bien au cercle) :



L'ensemble des nombres réels $x$ associés à ce point est l'ensemble des nombres réels $x$ de la forme $\dfrac{-\pi}{4}+k\times 2\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$.

On peut dire que l'ensemble des solutions du système est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-\pi}{4}+k\times 2\pi~\Big|~k\in\mathbb{Z}\right\}$.

2. $\begin{cases} \sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[2.5ex] \cos(x)=\dfrac{-1}{2} \end{cases}$

   Nous plaçons sur le cercle trigonométrique le point $\mathrm{M}\left(\dfrac{-1}{2}~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ (ce point appartient bien au cercle) :

   

   L'ensemble des nombres réels $x$ associés à ce point est l'ensemble des nombres réels $x$ de la forme $\dfrac{2\pi}{3}+k\times 2\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$.

   On peut dire que l'ensemble des solutions du système est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{2\pi}{3}+k\times 2\pi~\Big|~k\in\mathbb{Z}\right\}$.

3. $\begin{cases} \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[2.5ex] \sin(x)=\dfrac{-1}{2} \end{cases}$

   Nous plaçons sur le cercle trigonométrique le point $\mathrm{M}\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}~;~\dfrac{-1}{2}\right)$ (ce point appartient bien au cercle) :

   

   L'ensemble des nombres réels $x$ associés à ce point est l'ensemble des nombres réels $x$ de la forme $\dfrac{-5\pi}{6}+k\times 2\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$.

   On peut dire que l'ensemble des solutions du système est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-5\pi}{6}+k\times 2\pi~\Big|~k\in\mathbb{Z}\right\}$.

4. $\begin{cases} \sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[2.5ex] \cos(x)>0 \end{cases}$

   Nous plaçons sur le cercle trigonométrique le point $\mathrm{M}$ d'ordonnée $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et dont l'abscisse est positive :

   

   L'ensemble des nombres réels $x$ associés à ce point est l'ensemble des nombres réels $x$ de la forme $\dfrac{-\pi}{4}+k\times 2\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$.

   On peut dire que l'ensemble des solutions du système est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-\pi}{4}+k\times 2\pi~\Big|~k\in\mathbb{Z}\right\}$.

5. $\begin{cases} \sin(x)=1\\[2.5ex] x \in [-5\pi~;~10\pi[ \end{cases}$

   Nous plaçons sur le cercle trigonométrique le point $\mathrm{M}$ d'ordonnée $1$ (il n'y a qu'une seule possibilité, c'est le point $\mathrm{J}$).

   

   L'ensemble des nombres réels $x\in \left[-5\pi~;~10\pi\right[$ associés à ce point est l'ensemble des nombres réels de cet intervalle de la forme $\dfrac{\pi}{2}+k\times 2\pi$ où $k\in\mathbb{Z}$.

   Nous obtenons l'ensemble : $\left\{\dfrac{-7\pi}{2}~;~\dfrac{-3\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{5\pi}{2}~;~\dfrac{9\pi}{2}~;~\dfrac{13\pi}{2}~;~\dfrac{17\pi}{2}\right\}$.

6. $\begin{cases} \cos(x)=2\\[2.5ex] x \in [-5\pi~;~10\pi[ \end{cases}$

Il n'est pas possible d'avoir $\cos(x)=2$, par conséquent il n'existe aucun nombre réel vérifiant les contraintes données.

L'ensemble des solutions du système est $\mathrm{S}=\varnothing$.