Exercice 5

Soit $\alpha$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\pi\right]$ tel que $\cos(\alpha)=\dfrac{3}{5}$.

  1. Calculer la valeur exacte de $\sin(\alpha)$.
  2. En utilisant le cercle trigonométrique donner les valeurs exactes de :
    1. $\cos(-\alpha)$
    2. $\sin(-\alpha)$
    3. $\cos(\pi+\alpha)$
    4. $\sin(\pi+\alpha)$
    5. $\cos(\pi-\alpha)$
    6. $\sin(\pi-\alpha)$

  1. Nous savons que $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$, par conséquent nous avons :

    $\begin{aligned}\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\sin^2(\alpha)=1 \Longleftrightarrow \sin^2(\alpha)=1-\dfrac{9}{25}&\Longleftrightarrow \sin^2(\alpha)=\dfrac{16}{25}\\ &\Longleftrightarrow \sin(\alpha)=\dfrac{-4}{5}\text{ ou }\sin(\alpha)=\dfrac{4}{5} \end{aligned}$.

    Comme $\alpha\in \left[0~;~\pi\right]$, $\sin(\alpha)\geqslant 0$, donc $\sin(\alpha)=\dfrac{4}{5}$.

  2. Considèrons le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O~;~I~,~J}\right)$.

    Etant donné le nombre réel $\alpha$ placé sur le cercle trigonométrique, voici les positions des autres nombres :

    I
    J
    O
    $\alpha$
    $\pi-\alpha$
    $-\alpha$
    $\pi+\alpha$

    Nous en déduisons que :

    • $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)=\dfrac{3}{5}$
    • $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)=-\dfrac{4}{5}$
    • $\cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha)=-\dfrac{3}{5}$
    • $\sin(\pi+\alpha)=-\sin(\alpha)=-\dfrac{4}{5}$
    • $\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha)=-\dfrac{3}{5}$
    • $\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)=\dfrac{4}{5}$