Exercice 6
La valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.
Calculez la valeur exacte de $\sin \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
Donnez les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{7\pi}{8}\right)$ en vous appuyant sur le cercle trigonométrique.
On sait que pour tout réel $x$ : $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, donc en particulier :
$\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1$.
En remplaçant $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ par la valeur donnée dans l'énoncé il vient :
$\begin{aligned}\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)^2+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1 &\Longleftrightarrow \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1\\ &\Longleftrightarrow \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\\ &\Longleftrightarrow \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
Comme $0< \dfrac{\pi}{8}< \dfrac{\pi}{2}$ on peut dire que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)>0$ par conséquent :
$\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
Nous plaçons $\dfrac{\pi}{8}$ et $\dfrac{7\pi}{8}$ sur le cercle trigonométrique :
En nous appuyant sur le cercle trigonométrique, nous remarquons que :
$\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$, donc $\cos\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ ;
$\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$, donc $\sin\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.