1. Visualisons la situation sur le cercle trigonométrique :

   

   Dans $\left]-\pi ; \pi\right]$ : $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{7} \text{ ou }x=\dfrac{-\pi}{7}$.

   Dans $\left]-\pi ; \pi\right]$ l'ensemble des solutions de l'équation est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-\pi}{7} ; \dfrac{\pi}{7}\right\}$.

2. Visualisons la situation sur le cercle trigonométrique :

   

   Sur $\left]-\pi ; \pi\right]$ ; $\sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{13}\right)\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{13} \text{ ou }x=\dfrac{12\pi}{13}$.

   Dans $\left]-\pi ; \pi\right]$ l'ensemble des solutions de l'équation est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{\pi}{13} ; \dfrac{12\pi}{13}\right\}$.

3. Pour tout $x\in \left]-\pi ; \pi\right]$ :

   $\begin{aligned}2\sin(x)\cos(x)-\cos(x)=0 &\Longleftrightarrow \cos(x)\left(2\sin(x)-1\right)=0\\ &\Longleftrightarrow \cos(x)=0 \text{ ou }2\sin(x)-1=0\\ &\Longleftrightarrow \cos(x)=0 \text{ ou }\sin(x)=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$

   On peut visualiser les solutions sur le cercle trigonométrique :

   

   Dans $\left]-\pi ; \pi\right]$, l'ensemble des solutions de l'équation considérée est :

   $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$

4. Pour tout nombre réel $x\in \left]-\pi ; \pi\right]$ :

   $\begin{aligned}\cos^2(x)-\cos(x)=0 &\Longleftrightarrow \cos(x)(\cos(x)-1)=0\\ &\Longleftrightarrow \cos(x)=0 \text{ ou }\cos(x)-1=0\\ &\Longleftrightarrow \cos(x)=0 \text{ ou }\cos(x)=1\\ &\Longleftrightarrow x=\dfrac{-\pi}{2} \text{ ou }x=\dfrac{\pi}{2} \text{ ou }x=0\end{aligned}$

Dans $\left]-\pi ; \pi\right]$ l'ensemble des solutions de l'équation est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} ; 0\right\}$.