L'expression $(2x+1)(x-3)$ est la forme factorisée d'une expression du second degré dont les racines sont $\dfrac{-1}{2}$ et $3$.

Sa forme développée peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=2>0$, par conséquent on a le tableau de signes :

L'ensemble des solutions de l'inéquation $(2x+1)(x-3)>0$ est :

$\mathrm{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right[\cup \left]3~;~+\infty\right[$

Nous commençons par transformer l'inégalité pour avoir le membre de droite nul :

$4x\geqslant 2+x^2 \Longleftrightarrow 0\geqslant x^2-4x+2 \Longleftrightarrow x^2-4x+2\leqslant 0$

Nous cherchons les racines de $x^2-4x+2$ qui s'écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=1$ ; $b=-4$ et $c=2$.

Calculons son discriminant $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times1\times2=16-8=8$

Nous avons $\Delta>0$, donc le trinôme $x^{2}-4x+2$ admet deux racines réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-\left(-4\right)-\sqrt{8}}{2\times 1} =\dfrac{4-2\sqrt{2}}{2} =2-\sqrt{2}$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-\left(-4\right)+\sqrt{8}}{2\times 1} =\dfrac{4+2\sqrt{2}}{2} =2+\sqrt{2}$

Par ailleurs nous remarquons que $a>0$ donc nous avons le tableau de signes :

L'ensemble des solutions de l'inéquation $4x\geqslant 2+x^2\Longleftrightarrow x^2-4x+2\leqslant 0$ est :

$\mathrm{S}=\left[2-\sqrt{2}~;~2+\sqrt{2}\right]$.

Nous avons : $2x^2+x<3x^2-42\Longleftrightarrow -x^2+x+42<0$.

L'expression $-x^{2}+x+42$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=-1$ ; $b=1$ et $c=42$.

Calculons son discriminant $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-1\right)\times42=1+168=169$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'expression $-x^{2}+x+42$ a deux racines réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-1-\sqrt{169}}{2\times \left(-1\right)} =\dfrac{-1-13}{-2} =7$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-1+\sqrt{169}}{2\times \left(-1\right)} =\dfrac{-1+13}{-2} =-6$

Comme $a<0$, nous obtenons le tableau de signes :

L'ensemble des solutions de l'inéquation $2x^2+x<3x^2-42\Longleftrightarrow -x^2+x+42<0$ est :

$\mathrm{S}=\left]-\infty~;~-6\right[\cup \left]7~;~+\infty\right[$

Commençons par étudier l'expression $x^2-5x+6$ qui est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=1$ ; $b=-5$ et $c=6$.

Calculons son discriminant $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times1\times6=25-24=1$

Nous avons $\Delta>0$, donc le trinôme $x^{2}-5x+6$ admet deux racines réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{1}}{2\times 1} =\dfrac{5-1}{2} =2$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{1}}{2\times 1} =\dfrac{5+1}{2} =3$

Nous en déduisons la factorisation : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

Par conséquent : $(x-3)(x^2-5x+6)=(x-3)^2(x-2)$ et nous sommes finalement amenés à étudier le signe de $(x-3)^2(x-2)$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(x-3)^2$ est strictement positif sauf pour $x=3$ où l'expression s'annule, par conséquent le signe de l'expression considérée est le même que celui de

$x-2$ sauf pour $x=3$ où elle s'annule, nous avons donc le tableau de signes :

L'ensemble des solutions de l'inéquation

$(x-3)(x^2-5x+6)\leqslant 0\Longleftrightarrow (x-3)^2(x-2)\leqslant 0$ est : $\mathrm{S}=\left]-\infty~;~2\right]\cup\left\{3\right\}$.