Exercice 10
Soit l'équation (E) : $2\cos^2(x)+9\cos(x)+4=0$.
On pose $X=\cos(x)$.
A quel intervalle $X$ appartient-il ?
Résoudre l'équation $2X^2+9X+4=0$.
En déduire l'ensemble des solutions de (E) dans $\mathbb{R}$.
Résoudre dans $\left]-\pi ; \pi\right]$ l'équation :
$4\sin^2(x)-2(1+\sqrt{3})\sin(x)+\sqrt{3}=0$
1. On sait que pour tout nombre réel $x$, $-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1$, donc $X\in \left[-1 ; 1\right]$.
2. L'équation $2X^2+9X+4=0$ est une équation du second degré qui possède deux solutions dans $\mathbb{R}$ qui sont $X_1=-\dfrac{1}{2}$ et $X_2=-4$ (on ne détaille par la résolution de l'équation ici).
Donc sur $\left[-1 ; 1\right]$, l'équation a une seule solution qui est $X_1=\dfrac{-1}{2}$.
Par conséquent : $2\cos^2(x)+9\cos(x)+4=0 \Longleftrightarrow \cos(x)=\dfrac{-1}{2}$.
L'ensemble des solutions de l'équation est :
$\mathrm{S}=\left\{\dfrac{-2\pi}{3}+k\times 2\pi \Big| k\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{\dfrac{2\pi}{3}+k\times 2\pi \Big| k\in\mathbb{Z}\right\}$
4. Equation $4\sin^2(x)-2(1+\sqrt{3})\sin(x)+\sqrt{3}=0$ dans $\left]-\pi ; \pi\right]$
On pose $X=\sin(x)$ ; par conséquent $X\in \left[-1 ; 1\right]$.
On résout l'équation $4X^2-2(1+\sqrt{3})X+\sqrt{3}=0$ dans $\left[-1 ; 1\right]$.
Cette équation est une équation du second degré dont les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $X_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $X_2=\dfrac{1}{2}$ (on ne donne pas le détail de la résolution de l'équation).
On remarque que $X_1\in \left[-1 ; 1\right]$ et $X_2\in \left[-1 ; 1\right]$, par conséquent $X_1$ et $X_2$ sont aussi les solutions de l'équation considérée dans l'intervalle $\left[-1 ; 1\right]$.
On en déduit que :
$4\sin^2(x)-2(1+\sqrt{3})\sin(x)+\sqrt{3}=0\Longleftrightarrow \sin(x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\text{ ou } \sin(x)=\dfrac{1}{2}$
Comme on résout l'équation dans $\left]-\pi ; \pi\right]$, l'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2\pi}{3} ; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$.