Soit $x>0$ le nombre de vêtements achetés par Burgonde.

Le prix de chaque vêtement est $\dfrac{180}{x}$.

L'information : "Si chaque vêtement avait coûté 3 € de moins, Burgonde aurait pu en acheter 3 de plus pour la même somme." se traduit par l'équation (où $x\not= 0$) :

$\begin{aligned} \left(\dfrac{180}{x}-3\right)(x+3)=180 &\Longleftrightarrow \dfrac{180-3x}{x}\times (x+3)=180\\ &\Longleftrightarrow \dfrac{(180-3x)(x+3)}{x}=180\\ &\Longleftrightarrow (180-3x)(x+3)=180x\\ &\Longleftrightarrow 180x+540-3x^2-9x=180x\\ &\Longleftrightarrow -3x^2-9x+540=0\\ &\Longleftrightarrow x^2+3x-180=0\text{ (en divisant par }-3) \end{aligned}$

L'expression $x^{2}+3x-180$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=1$ ; $b=3$ et $c=-180$.

Calculons son discriminant $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times1\times\left(-180\right)=9+720=729$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $x^{2}+3x-180=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-3-\sqrt{729}}{2\times 1} =\dfrac{-3-27}{2} =-15$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-3+\sqrt{729}}{2\times 1} =\dfrac{-3+27}{2} =12$

Le nombre de vêtement ne peut pas être négatif, donc la solution $x_1$ ne convient pas.

Ainsi, Burgonde a acheté 12 vêtements au prix unitaire de $\dfrac{180}{12}=15$ €.