La largeur de la feuille est $x$ et son périmètre est 110, par conséquent la hauteur est égale à $\dfrac{110-2x}{2}=55-x$.

L'aire de la zone imprimée s'exprime en fonction de $x$ par :

$\begin{aligned} (x-4)(55-x-7)=(x-4)(48-x)&=48x-x^2-192+4x\\ &=-x^2+52x-192 \end{aligned}$

Nous sommes donc amenés à étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=-x^2+52x-192$

L'expression $-x^2+52x-192$ est sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=-1$ ; $b=52$ et $c=-192$

Comme $a<0$ ; nous savons que la fonction $f$ admet un maximum pour

$x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-52}{2\times (-1)}=26$.

Par ailleurs les conditions suivantes doivent être respectées :

• $x\geqslant 4$ (avec les 2 marges de 2 cm, la largeur de la page est au minimum de 4 cm) ;

• $x\leqslant 48$ (avec les marges de 4 cm et 3 cm, la hauteur de la page est au minimum de 7 cm, soit $55-x\geqslant 7\Longleftrightarrow x\leqslant 48$).

Nous voyons que $4\leqslant 26\leqslant 48$, par conséquent nous concluons que pour avoir une zone imprimée d'aire maximale la feuille doit avoir 26 cm de large et $55-26=29$ cm de haut.