Exercice 15
Le terrain où Burgonde et Fridoline jouent à la pétanque est un terrain rectangulaire qui mesure 15 m de long et 4 m de large. Un bâtiment à proximité du terrain projette une ombre triangulaire sur le terrain.
Sur la figure ci-dessous, le rectangle ABCD représente le terrain de pétanque et le triangle EBF représente l'ombre projetée par le bâtiment. L'ombre entre par le côté [AB] et avance vers l'intérieur du terrain de telle façon qu'à tout moment $\mathrm{AE}=\mathrm{BF}$.
Quelle est la longueur $\mathrm{AE}$ lorsque l'ombre triangulaire occupe un tiers de la surface du terrain ?
Aide au calcul : $\frac{15+\sqrt{65}}{2}\approx 11,53$ et $\frac{15-\sqrt{65}}{2}\approx 3,47$.
On appelle $x$ la longueur $\mathrm{AE}$, ce qui donne le schéma :
Le triangle $\mathrm{EBF}$ est un triangle rectangle dont l'aire est : $\dfrac{x(15-x)}{2}$.
L'aire du terrain est $15\times 4=60 \text{m}^2$, donc le tiers de l'aire est $20 \text{m}^2$.
Par conséquent on cherche $x$ tel que :
$\begin{aligned} \dfrac{x(15-x)}{2}=20&\Longleftrightarrow 15x-x^2=40\\ &\Longleftrightarrow -x^2+15x-40=0 \end{aligned}$
L'expression $-x^{2}+15x-40$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-1$ ; $b=15$ et $c=-40$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=15^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-40\right)=225-160=65$
Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $-x^{2}+15x-40=0$ admet deux solutions réelles distinctes :
- $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-15-\sqrt{65}}{2\times \left(-1\right)} =\dfrac{-15-\sqrt{65}}{-2} =\dfrac{15}{2}+\dfrac{\sqrt{65}}{2}\approx 11,53$
- $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-15+\sqrt{65}}{2\times \left(-1\right)} =\dfrac{-15+\sqrt{65}}{-2} =\dfrac{15}{2}-\dfrac{\sqrt{65}}{2}\approx 3,47$
On peut remarquer que lorsque $x>4$, l'ombre n'est pas triangulaire (c'est un trapèze rectangle).
Par conséquent on ne garde que la solution $x_2$ et finalement lorsque l'ombre triangulaire occupe un tiers de la surface du terrain la longueur $\mathrm{AE}$ est d'environ $3,47 \text{m}$.