Exercice 16

Une balle de tennis rebondit sur le sol en suivant des trajectoires paraboliques et en perdant de la hauteur à chaque rebond.

Dans le repère ci-dessous, la première parabole $\mathscr{P}_1$ a pour équation $y=\dfrac{-1}{2}x^2+2x$.

  1. Calculez l'abscisse du point A où la balle rebondit sur le sol.

  2. La hauteur maximale atteinte lors du rebond suivant est 1,5 m et l'abscisse du point B correspondant au choc suivant sur le sol vaut 7.

    Déterminez l'équation sous forme développée de la parabole $\mathscr{P}_2$.

1. L'abscisse du point $\mathrm{A}$ correspond à la racine non nulle de $\dfrac{-1}{2}x^2+2x$.

Pour résoudre l'équation $\dfrac{-1}{2}x^2+2x=0$ on peut directement écrire :

$\begin{aligned}\dfrac{-1}{2}x^2+2x=0 &\Longleftrightarrow x\left(\dfrac{-1}{2}x+2\right)=0\\ &\Longleftrightarrow x=0 \text{ ou }\dfrac{-1}{2}x+2=0\\ &\Longleftrightarrow x=0 \text{ ou }x=4\end{aligned}$

Par conséquent l'abscisse du point $\mathrm{A}$ est $4$.

2. La parabole est symétrique par rapport à une droite d'équation $x=\alpha$ perpendiculaire à l'axe des abscisses et passant par le sommet de la parabole.

Les point $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sont deux points de la parabole symétriques par rapport à la droite d'équation $x=\alpha$, donc $\alpha$ est l'abscisse du point situé au milieu de $[\mathrm{AB}]$ soit :

$\alpha=\dfrac{4+7}{2}=\dfrac{11}{2}$.

La hauteur maximale lors du rebond nous donne l'ordonnée du sommet de la parabole $\mathscr{P}_2$.

Donc les coordonnées du sommet de la parabole $\mathscr{P}_2$ sont $\left(\dfrac{11}{2} ; \dfrac{3}{2}\right)$.

A partir des coordonnées du sommet, on peut écrire l'équation de $\mathscr{P}_2$ sous forme canonique : $y=a\left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}$ où $a$ reste à déterminer.

La parabole passe par le point $\mathrm{A}\left(4 ; 0\right)$, par conséquent :

$0=a\left(4-\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2} \Longleftrightarrow \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2a+\dfrac{3}{2}=0 \Longleftrightarrow \dfrac{9}{4}a=\dfrac{-3}{2} \Longleftrightarrow a=\dfrac{-3}{2}\times \dfrac{4}{9}=\dfrac{-2}{3}$

Finalement une équation de $\mathscr{P}_2$ est $y=\dfrac{-2}{3}\left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}$.

Développons l'expression obtenue :

$\begin{aligned} \dfrac{-2}{3}\left(x-\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2} &=\dfrac{-2}{3}\left(x^2-11x+\dfrac{121}{4}\right)+\dfrac{3}{2}\\ &=\dfrac{-2}{3}x^2+\dfrac{22}{3}x-\dfrac{121}{6}+\dfrac{3}{2}\\ &=\dfrac{-2}{3}x^2+\dfrac{22}{3}x-\dfrac{56}{3}\\ \end{aligned}$

Détail du calcul : $\dfrac{-121}{6}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{-121}{6}+\dfrac{9}{6}=\dfrac{-121+9}{6}=\dfrac{-112}{6}=\dfrac{-56\times \cancel{2}}{3\times \cancel{2}}=\dfrac{-56}{3}$.

Par conséquent l'équation de $\mathscr{P}_2$ sous forme développée est : $y=\dfrac{-2}{3}x^2+\dfrac{22}{3}x-\dfrac{56}{3}$.