En tenant compte du fait que le périmètre du terrain est de 224 m, nous avons le schéma suivant :

• L'aire de la partie triangulaire est : $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$ ;
• l'aire de la partie rectangulaire est : $\left(112-\dfrac{3}{2}x\right)x=\dfrac{-3}{2}x^2+112x$

Par conséquent l'aire du terrain s'exprime en fonction de $x$ par :

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x^2+112x=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{3}{2}\right)x^2+112x=\dfrac{\sqrt{3}-6}{4}x^2+112x$.

Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{3}-6}{4}x^2+112x$.

C'est une fonction polynôme du second degré dont l'expression est sous la forme

$ax^2+bx+c$ avec : $a=\dfrac{\sqrt{3}-6}{4}$ ; $b=112$ et $c=0$.

Remarquons que $a<0$, car $3<36\Longrightarrow \sqrt{3}<6 \Longrightarrow \sqrt{3}-6<0$.

Par conséquent la fonction $f$ admet un maximum qui est atteint pour :

$x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-112}{2\times \dfrac{\sqrt{3}-6}{4}}=\dfrac{-112}{\dfrac{\sqrt{3}-6}{2}}=-112\times \dfrac{2}{\sqrt{3}-6}=\dfrac{224}{6-\sqrt{3}}$

Avec l'aide au calcul nous savons que : $\dfrac{105}{2}\left(6-\sqrt{3}\right)\approx 224$, donc $\dfrac{224}{6-\sqrt{3}}\approx \dfrac{105}{2}\approx 52,5$.

La valeur de $x$ cherchée étant une longueur nous devons avoir :

• $x\geqslant 0$ ;

• l'autre dimension du rectangle doit être également positive soit :

  $\dfrac{224-3x}{2}\geqslant 0 \Longleftrightarrow 224-3x\geqslant 0 \Longleftrightarrow x\leqslant \dfrac{224}{3}$

  avec $\dfrac{224}{3}=\dfrac{222}{3}+\dfrac{2}{3}=74+\dfrac{2}{3}\approx 74,6$.

Nous remarquons que $0\leqslant 52,5\leqslant 74,6$ par conséquent nous pouvons conclure que la longueur du côté du triangle doit être d'environ 52,5 m pour avoir un terrain d'aire maximale.