Exercice 4
On modélise la trajectoire d'un ballon qui entre « pile-poil » au centre du panier lors d'un lancer franc au basket comme indiqué sur le dessin ci-dessous :
La trajectoire du centre du ballon est un arc de parabole d'équation :
$y=-0,3x^2+1,6x+2$
où $x$ et $y$ sont exprimés en mètre.
Sachant que la ligne de lancer franc est à 4,6 m de la verticale qui passe par le centre du panier, à quelle hauteur du sol se trouve le bord du haut du panier ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte par le centre du ballon ?
Soit $f$ la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ associée à l'arc de parabole, nous avons donc : $f(x)=-0,3x^2+1,6x+2$.
La hauteur du bord du haut du panier correspond à l'image de $4,6$ par la fonction $f$.
Calculons donc $f(4,6)=-0,3\times 4,6^2+1,6\times 4,6+2=3,012$.
Par conséquent le bord du haut du panier se trouve à $3,012$ m du sol.
La hauteur maximale atteinte par le centre du ballon correspond au maximum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
L'expression $-0,3x^2+1,6x+2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-0,3$ ; $b=1,6$ et $c=2$.
Nous calculons :
- $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1,6}{2\times (-0,3)}=\dfrac{1,6}{0,6}=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}$
Puis, $\beta=f(\alpha)$ :
$\begin{aligned}\beta &=-0,3\times \left(\dfrac{8}{3}\right)^2+1,6\times \dfrac{8}{3}+2\\ &=\dfrac{-3}{10}\times \dfrac{64}{9}+\dfrac{8}{5}\times \dfrac{8}{3}+2\\ &=\dfrac{-32}{15}+\dfrac{64}{15}+\dfrac{30}{15}\\ &=\dfrac{62}{15}\end{aligned}$
Comme nous avons $a<0$, nous avons le tableau de variations :
$x$$f$$-\infty$$+\infty$$\dfrac{8}{3}$$\dfrac{62}{15}$Ainsi le maximum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{62}{15}\approx 4,13$ ; la hauteur maximale atteinte par le centre du ballon est environ $4,13$ m.