Nous devons déterminer l'aire de l'enclos en fonction de $x$, pour cela nous complètons le schéma :

Donc l'aire de l'enclos s'exprime par : $x(30-2x)=-2x^2+30x$.

Nous sommes amenés à considérer la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+30x$.

L'expression $-2x^{2}+30x$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=-2$ ; $b=30$ et $c=0$.

Calculons :

• $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-30}{2\times \left(-2\right)}=\dfrac{-30}{-4}=\dfrac{15}{2}$

• $\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{15}{2}\right)$

  $\begin{aligned} \beta&= -2\times \left(\dfrac{15}{2}\right)^{2}+30\times \dfrac{15}{2}\\ &= -2\times \dfrac{225}{4}+225\\ &= -\dfrac{225}{2}+225\\ &= -\dfrac{225}{2}+\dfrac{450}{2}\\ &= \dfrac{225}{2} \end{aligned}$

Comme $a<0$ nous avons le tableau de variations :

Le tableau obtenu ne correspond pas directement à la situation étudiée. En effet, dans notre problème, $x$ est compris entre $0$ et $15$. Nous nous intéressons ainsi uniquement à la partie du tableau correspondant à l’intervalle $[0,15]$ :

Sur l'intervalle $[0~;~15]$, la fonction $f$ admet un maximum qui vaut $112,5$.

Nous en déduisons que l'aire maximale de l'enclos est de $112,5$ m$^2$.