Exercice 8

Dans l'ensemble des nombres réels, factoriser chacune des expressions suivantes :

  1. $x^2-36$

  2. $x^2-7$

  3. $2x^2-4x$

  4. $(x-4)^2-16$

  5. $4(x+2)^2-7$

  6. $x^2-4x+4$

  7. $x^2+6x+5$

  8. $2x^2+7x-15$

  1. $x^2-36=x^2-6^2=(x-6)(x+6)$
  2. $x^2-7=x^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)$
  3. $2x^2-4x=2x(x-2)$
  4. $(x-4)^2-16=(x-4)^2-4^2=\left(x-4-4\right)\left(x-4+4\right)=x(x-8)$
  5. $4(x+2)^2-7=\left(2(x+2)\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(2x+4-\sqrt{7}\right)\left(2x+4+\sqrt{7}\right)$
  6. $x^2-4x+4=(x-2)^2$ (identité remarquable)

  7. L'expression $x^{2}+6x+5$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

    $a=1$ ; $b=6$ et $c=5$.

    Calculons son discriminant $\Delta$ :

    $\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times1\times5=36-20=16$

    Nous avons $\Delta>0$, donc l'expression $x^{2}+6x+5$ admet deux racines réelles distinctes :

    • $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-6-\sqrt{16}}{2\times 1} =\dfrac{-6-4}{2} =-5$
    • $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-6+\sqrt{16}}{2\times 1} =\dfrac{-6+4}{2} =-1$

    Nous en déduisons la factorisation du trinôme : $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$.

  8. L'expression $2x^{2}+7x-15$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

    $a=2$ ; $b=7$ et $c=-15$.

    Calculons son discriminant $\Delta$ :

    $\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times2\times\left(-15\right)=49+120=169$

    Nous avons $\Delta>0$, donc le trinôme $2x^{2}+7x-15$ admet deux racines réelles distinctes :

    • $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-7-\sqrt{169}}{2\times 2} =\dfrac{-7-13}{4} =-5$
    • $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-7+\sqrt{169}}{2\times 2} =\dfrac{-7+13}{4} =\dfrac{3}{2}$

    Nous en déduisons la factorisation : $2x^{2}+7x-15=2(x+5)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)$.