Exercice 9
On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$, où $a\not=0$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
Démontrer que le nombre 1 (respectivement $-1$) est une racine du trinôme si et seulement si $a+b+c=0$ (respectivement $a-b+c=0$).
On dit que $1$ (respectivement $-1$) est racine évidente du trinôme du second degré.
Dans chacun des cas suivants déterminer la racine évidente, en déduire l'autre racine et proposer une factorisation du trinôme.
$2x^2 - 3x + 1$
$3x^2 - 3x - 6$
$-x^2 + 2x + 3$
$2x^2 - 5x + 3$
Le nombre $1$ est une racine du trinôme équivaut à :
$a\times 1^2+b\times 1+c=0 \Longleftrightarrow a+b+c=0$.
Le nombre $-1$ est une racine du trinôme équivaut à :
$a\times (-1)^2+b\times (-1)+c=0 \Longleftrightarrow a-b+c=0$.
L'expression $2x^2-3x+1$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=2$ ; $b=-3$ et $c=1$
On remarque que $a+b+c=2-3+1=0$, donc $x_1=1$ est racine évidente du trinôme.
On sait que que le produit des racines $x_1$ et $x_2$ du trinôme est égal à $\dfrac{c}{a}$, par conséquent : $x_1x_2=x_2=\dfrac{1}{2}$.
On en déduit la factorisation : $2x^2-3x+1=2(x-1)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.
L'expression $3x^2-3x-6$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=3$ ; $b=-3$ et $c=-6$
On remarque que $a-b+c=3+3-6=0$, donc $x_1=-1$ est racine évidente du trinôme.
On sait que que le produit des racines $x_1$ et $x_2$ du trinôme est égal à $\dfrac{c}{a}$, par conséquent : $x_1x_2=-x_2=\dfrac{-6}{3}$, d'où $x_2=2$.
On en déduit la factorisation : $3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)$.
L'expression $-x^2+2x+3$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-1$ ; $b=2$ et $c=3$
On remarque que $a-b+c=-1-2+3=0$, donc $x_1=-1$ est racine évidente du trinôme.
On sait que que le produit des racines $x_1$ et $x_2$ du trinôme est égal à $\dfrac{c}{a}$, par conséquent : $x_1x_2=-x_2=\dfrac{3}{-1}$, d'où $x_2=3$.
On en déduit la factorisation : $-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)$.
L'expression $2x^2-5x+3$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=2$ ; $b=-5$ et $c=3$
On remarque que $a+b+c=2-5+3=0$, donc $x_1=1$ est racine évidente du trinôme.
On sait que que le produit des racines $x_1$ et $x_2$ du trinôme est égal à $\dfrac{c}{a}$, par conséquent : $x_1x_2=x_2=\dfrac{3}{2}$.
On en déduit la factorisation : $2x^2-5x+3=2(x-1)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)$.