Soient $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels avec $a\neq0$.
L'équation $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré.
Les éventuelles solutions de cette équation sont appelées les racines du trinôme du second degré $ax^2+bx+c$.
Le discriminant du trinôme du second degré est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
Si $\Delta>0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes qui sont :
$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme du second degré.
Si $\Delta=0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution réelle qui est $x_{0}=\dfrac{-b}{2a}$.
Le nombre $x_0$ est la racine double du trinôme du second degré.
Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'admet pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
Le trinôme du second degré n'a pas de racine réelle.
Interprétation graphique
Soit $\mathscr{C}_f$ la parabole représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=ax^2+bx+c$. Les solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
Si $\Delta>0$
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Axe des
abscisses $a>0$
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Axe des
abscisses $a<0$
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Si $\Delta=0$
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Axe des
abscisses $a>0$
|
Axe des
abscisses $a<0$
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Si $\Delta<0$
|
Axe des
abscisses $a>0$
|
Axe des
abscisses $a<0$
|
Pour chacune des équations suivantes, calculer le discriminant du trinôme du second degré associé et indiquer le nombre de solutions de l'équation dans $\mathbb{R}$ en justifiant.
L'expression $-x^{2}-3x+9$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-1$ ; $b=-3$ et $c=9$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times\left(-1\right)\times9=9+36=45$
Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $-x^{2}-3x+9=0$ possède deux solutions réelles distinctes.
L'expression $2x^{2}-7x+9$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=2$ ; $b=-7$ et $c=9$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-7\right)^2-4\times2\times9=49-72=-23$
Nous avons $\Delta<0$, donc l'équation $2x^{2}-7x+9=0$ n'admet pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
L'expression $9x^{2}+6x+1$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=9$ ; $b=6$ et $c=1$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times9\times1=36-36=0$
Nous avons $\Delta=0$, donc l'équation $9x^{2}+6x+1=0$ possède une unique solution réelle.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :
L'expression $x^{2}-20x+84$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=1$ ; $b=-20$ et $c=84$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-20\right)^2-4\times1\times84=400-336=64$
Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $x^{2}-20x+84=0$ admet deux solutions réelles distinctes :
L'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\left\{6~;~14\right\}$.
L'expression $36x^{2}-12x+1$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=36$ ; $b=-12$ et $c=1$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times36\times1=144-144=0$
Nous avons $\Delta=0$, donc l'équation $36x^{2}-12x+1=0$ admet une unique solution réelle :
$x_0 =\dfrac{-b}{2a} =\dfrac{-\left(-12\right)}{2\times 36} =\dfrac{12}{2\times 3\times 12} =\dfrac{1}{6}$.
L'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{1}{6}\right\}$.
L'expression $15x^{2}+10x+2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=15$ ; $b=10$ et $c=2$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=10^2-4\times15\times2=100-120=-20$
Nous avons $\Delta<0$, donc l'équation $15x^{2}+10x+2=0$ n'admet pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.
L'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\varnothing$.
L'expression $5x^{2}+2x-4$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=5$ ; $b=2$ et $c=-4$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times5\times\left(-4\right)=4+80=84$
Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $5x^{2}+2x-4=0$ admet deux solutions réelles distinctes :
L'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\left\{-\dfrac{1}{5}-\dfrac{\sqrt{21}}{5}~;~-\dfrac{1}{5}+\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right\}$.
L'expression $10x^{2}-9x+2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=10$ ; $b=-9$ et $c=2$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-9\right)^2-4\times10\times2=81-80=1$
Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $10x^{2}-9x+2=0$ admet deux solutions réelles distinctes :
L'ensemble des solutions de l'équation considérée est $\mathrm{S}=\left\{\dfrac{2}{5}~;~\dfrac{1}{2}\right\}$.