L'équation $2x^2+5x+2=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec :

$a=2$ ; $b=5$ et $c=2$.

Nous avons :

• $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-5}{2}$
• $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{2}=1$

Vérification :

Calculons le discriminant $\Delta$ associé à l'équation :

$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times2\times2=25-16=9$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $2x^{2}+5x+2=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-5-\sqrt{9}}{2\times 2} =\dfrac{-5-3}{4} =-2$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-5+\sqrt{9}}{2\times 2} =\dfrac{-5+3}{4} =-\dfrac{1}{2}$

Calculons la somme et le produit des solutions trouvées :

• $x_1+x_2=-2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-5}{2}$
• $x_1x_2=-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=1$

Nous obtenons bien les mêmes résultats que ci-dessus.

L'équation $-x^2+4x-3=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec :

$a=-1$ ; $b=4$ et $c=-3$.

Nous avons :

• $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-4}{-1}=4$
• $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{-1}=3$

Vérification :

Calculons le discriminant $\Delta$ associé à l'équation :

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times(-1)\times(-3)=16-12=4$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $-x^{2}+4x-3=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2\times(-1)} =\dfrac{-4-2}{-2} =3$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2\times(-1)} =\dfrac{-4+2}{-2} =1$

Calculons la somme et le produit des solutions trouvées :

• $x_1+x_2=3+1=4$
• $x_1x_2=3\times1=3$

Nous obtenons bien les mêmes résultats que ci-dessus.

L'équation $3x^2-5x+1=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec :

$a=3$ ; $b=-5$ et $c=1$.

Nous avons :

• $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(-5)}{3}=\dfrac{5}{3}$
• $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{3}$

Vérification :

Calculons le discriminant $\Delta$ associé à l'équation :

$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times3\times1=25-12=13$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $3x^{2}-5x+1=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-(-5)-\sqrt{13}}{2\times3} =\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-(-5)+\sqrt{13}}{2\times3} =\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}$

Calculons la somme et le produit des solutions trouvées :

• $x_1+x_2=\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}+\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}=\dfrac{5-\cancel{\sqrt{13}}+5+\cancel{\sqrt{13}}}{6}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$
• $x_1x_2=\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\times\dfrac{5+\sqrt{13}}{6} =\dfrac{\left(5-\sqrt{13}\right)\left(5+\sqrt{13}\right)}{36} =\dfrac{25-13}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$

Nous obtenons bien les mêmes résultats que ci-dessus.

L'équation $x^2-3x-1=0$ est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec :

$a=1$ ; $b=-3$ et $c=-1$.

Nous avons :

• $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-(-3)}{1}=3$
• $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{1}=-1$

Vérification :

Calculons le discriminant $\Delta$ associé à l'équation :

$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times1\times(-1)=9+4=13$

Nous avons $\Delta>0$, donc l'équation $x^{2}-3x-1=0$ admet deux solutions réelles distinctes :

• $x_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-(-3)-\sqrt{13}}{2\times1} =\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}$
• $x_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{-(-3)+\sqrt{13}}{2\times1} =\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$

Calculons la somme et le produit des solutions trouvées :

• $x_1+x_2=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} =\dfrac{3-\cancel{\sqrt{13}}+3+\cancel{\sqrt{13}}}{2} =\dfrac{6}{2}=3$
• $x_1x_2=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\times\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} =\dfrac{\left(3-\sqrt{13}\right)\left(3+\sqrt{13}\right)}{2} =\dfrac{9-13}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1$

Nous obtenons bien les mêmes résultats que ci-dessus.