Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels tels que $a\neq0$.
Considérons le trinôme du seconde degré $ax^2+bx+c$.
Si le trinôme n'a aucune racine réelle, alors il est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.
Si le trinôme a une racine double $x_0$, alors :
il est du signe de $a$ sur $]-\infty ; x_0[\cup]x_0 ; +\infty[$ (se note aussi : $\mathbb{R}\smallsetminus\left\{x_0\right\}$) ;
il s'annule en $x_0$.
Si le trinôme a deux racines réelles distinctes $x_1<x_2$, alors :
il est du signe de $a$ sur $]-\infty ; x_1[$ et sur $]x_2 ; +\infty[$ ;
il s'annule en $x_1$ et en $x_2$ ;
il est du signe contraire de $a$ sur $]x_1 ; x_2[$.
Remarque
On peut retenir que le signe de $ax^2+bx+c$ est le même que celui de $a$, sauf entre ses deux racines lorsqu'il en a, où il est du signe contraire de $a$.
Dans chacun des cas suivants établir le tableau de signes sur $\mathbb{R}$ de l'expression trinôme du second degré.
$3x^2-4x+1$
$-5x^2-2x-7$
$x^2+8x+16$
$-2x^2-3x+5$
Commençons par déterminer les racines du trinôme du second degré $3x^2-4x+1$.
Nous pouvons remarquer que $1$ est racine évidente, donc l'autre racine est $\dfrac{1}{3}$.
Le coefficient du terme en $x^2$ est strictement positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur de ses racines et négatif entre elles. Par conséquent, nous obtenons le tableau de signes suivant :
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{1}{3}$ | $1$ | $+\infty$ | |||
| Signe de $3x^2-4x+1$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
L'expression $-5x^{2}-2x-7$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=-5$ ; $b=-2$ et $c=-7$.
Calculons son discriminant $\Delta$ :
$\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-7\right)=4-140=-136$
Nous avons $\Delta<0$, donc $-5x^{2}-2x-7$ n'a pas de racine dans $\mathbb{R}$.
Le coefficient du terme en $x^2$ est strictement négatif, donc le trinôme est strictement négatif sur $\mathbb{R}$, nous obtenons le tableau de signes suivant :
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |
| Signe de $-5x^2-2x-7$ | $-$ |
Nous remarquons que $x^2+8x+16=(x+4)^2$, par conséquent le trinôme considéré admet la racine double $-4$.
Le coefficient du terme en $x^2$ est strictement positif, donc le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$ sauf pour $x=-4$ où il s'annule, nous obtenons le tableau de signes suivant :
| $x$ | $-\infty$ | $-4$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $x^2+8x+16$ | $+$ | $0$ | $+$ |
Nous remarquons que $1$ est racine évidente du trinôme du second degré $-2x^2-3x+5$, donc l'autre racine est $\dfrac{-5}{2}$.
Le coefficient du terme en $x^2$ est strictement négatif, donc le trinôme est négatif à l’extérieur de ses racines et positif entre elles. Par conséquent, nous obtenons le tableau de signes suivant :
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-5}{2}$ | $1$ | $+\infty$ | |||
| Signe de $-2x^2-3x+5$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |