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Une fonction polynôme du second degré (appelée aussi fonction trinôme du second degré) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont l'expression algébrique peut être écrite sous la forme :
$f(x)=ax^2+bx+c$
où $a\not=0$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
Exemple
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5x-2$.
L'expression $f(x)$ est sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :
- $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ (qui est non nul)
- $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-5}$
- $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$
Par conséquent la fonction $f$ est une fonction trinôme du second degré.
Soient $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels avec $a\neq0$.
On considère la fonction polynôme de degré 2 défine sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$.
On peut écrire l'expression $f(x)$ sous la forme :
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$
C'est la forme canonique de l'expression.
Exemple
Soit la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-6x+5$.
L'expression $f(x)$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{2}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-6}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{5}$
Sa forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec :
- $\alpha=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-6)}{2\times 2}=\dfrac{3}{2}}$
- $\beta=\qmark{6}\onclass{7-}{blue}{f(\alpha)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=2\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2-6\times \dfrac{3}{2}+5=\dfrac{1}{2}}$
Donc la forme canonique de $f(x)$ est $\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}$.
Vérification
On développe la forme canonique :
$\begin{aligned} \class{1:blue}{2 \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}} &\onclass{2-}{blue}{=2 \left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{1}{2}}\\ &\onclass{3-}{blue}{=2x^2-6x+\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}}\\ &\onclass{4-}{blue}{=2x^2-6x+5} \end{aligned}$
On aboutit bien à l'expression $f(x)$ initiale.
Soit $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels où $a\neq0$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$ où $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$
- Si $a>0$, le tableau de variations de $f$ est :
$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$ Variations de $f$ 
$f(\alpha)=\beta$ - Si $a<0$, le tableau de variations de $f$ est :
$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$ $f(\alpha)=\beta$ Variations de $f$
Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de $f$ est une parabole dont le sommet $\mathrm{S}$ a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$.
La parabole admet un axe de symétrie dont l'équation de droite est $x=\alpha$.
Il y a deux cas possibles suivant le signe de $a$ :
$a>0$
parabole tournée vers le haut
$a<0$
parabole tournée vers le bas
Exemple
Etudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+6x-2$.
L'expression $3x^2+6x-2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :
$a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{6}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$
On calcule :
- $\alpha=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\times 3}=-1}$
- $\beta=\qmark{6}\onclass{7-}{blue}{f(\alpha)=3\times (-1)^2+6\times (-1)-2=-5}$
Comme $a>0$, le tableau de variations de $f$ est :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $+\infty$ | ||
| Variations de $f$ | | | |||
| $-5$ |
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $+\infty$ | ||
| Variations de $f$ | | | |||
| $-5$ |
-
la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty~;~-1\right]$ ;
Quel est le sens de variation de $f$ sur $\left]-\infty~;~-1\right]$ ?
-
la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[-1~;~+\infty\right[$ ;
Quel est le sens de variation de $f$ sur $\left[-1~;~+\infty\right[$ ?
-
la fonction $f$ admet sur $\mathbb{R}$ un minimum qui vaut $-5$ et qui est atteint pour $x=-1$.
Quel est l'extremum, pour quel valeur est-il atteint ?
La courbe représentative de $f$ :
- est une parabole tournée vers le haut ;
- les coordonnées de son sommet sont $\left(-1~;~-5\right)$ ;
- son axe de symétrie est la droite d'équation $x=-1$.
Soit $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels où $a\neq0$.
L'équation $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré.
Le discriminant du trinôme du second degré est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
Si $\Delta>0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes qui sont :
$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme du second degré.
Si $\Delta=0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution réelle qui est $x_{0}=\dfrac{-b}{2a}$.
Le nombre $x_0$ est la racine double du trinôme du second degré.
Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'admet pas de solution réelle.
Le trinôme du second degré n'a pas de racine réelle.
Exemple 1
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^2-4x+1=0$
L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{4}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-4}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{1}$.
Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=(-4)^2-4\times 4\times 1=0}$.
Comme $\Delta=0$, l'équation a une unique solution qui est $x_0=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2\times 4}=\dfrac{1}{2}}$.
Exemple 2
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-2x^2+7x+15=0$
L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{7}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{15}$.
Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=7^2-4\times (-2)\times 15=169}$.
Comme $\Delta>0$, l'équation a deux solutions qui sont :
$x_1=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{169}}{2\times (-2)}=\dfrac{-7-13}{-4}=5}$
et
$x_2=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+13}{-4}=\dfrac{-3}{2}}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $3x^2+12x+19=0$
L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{12}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{19}$.
Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=12^2-4\times 3\times 19=-84}$.
Comme $\Delta<0$, l'équation n'a pas de solution réelle.
Les notations sont les mêmes que dans le théorème précédent.
- Si $\Delta>0$, $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ;
- Si $\Delta=0$, $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{0})^2$ ;
- Si $\Delta<0$, $ax^2+bx+c$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$ comme le produit de deux polynômes du premier degré.
Exemple 1
Le polynôme du second degré $20x^2-20x+5$ a une racine double égale à $\dfrac{1}{2}$.
Donnez une factorisation dans $\mathbb{R}$ de l'expression $20x^2-20x+5$.
Solution
$20x^2-20x+5=\htmlData{on=2-,blue-on=2}{20\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}$?
Exemple 2
Le trinôme du second degré $-2x^2+7x+15$ a deux racines distinctes : $5$ et $\dfrac{-3}{2}$.
Donnez une factorisation dans $\mathbb{R}$ de l'expression $-2x^2+7x+15$.
Solution
$-2x^2+7x+15=\htmlData{on=2-,blue-on=2}{-2\left(x-5\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)}$?
Exemple 3
On admet que l'équation $3x^2+12x+19=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
Donnez une factorisation de $3x^2+12x+19$ dans $\mathbb{R}$.
Solution
Avec des nombres réels, il n'est pas possible d'écrire $3x^2+12x+19$ comme produit de deux polynômes du premier degré.
Soit $a$, $b$ et $c$, trois nombres réels où $a\neq0$.
Si l'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$ alors :
- $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$
- $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$
Remarque
Dans le cas d'une racine double $x_0$ : $2x_0=\dfrac{-b}{a}$ et $x_0^2=\dfrac{c}{a}$.
Exemple
Factoriser de tête l'expression $3x^2-4x+1$.
On remarque que $1$ est racine évidente car $3-4+1=0$.
Le produit des racines est égal à ?$\dfrac{1}{3}$, donc l'autre racine est ?$\dfrac{1}{3}$.
Par conséquent $3x^2-4x+1=3(x-1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)=(x-1)(3x-1)$.
On peut vérifier la réponse en développant de tête l'expression obtenue.
Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels où $a\neq0$.
On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta$.
Si $\Delta>0$, on appelle $x_1$ et $x_2$ les racines du trinôme avec $x_1<x_2$, alors :
$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$ Signe de $ax^2+bx+c$ Signe de $a$ $0$ Signe contraire de $a$ $0$ Signe de $a$ - Si $\Delta=0$, on appelle $x_0$, la racine double du trinôme, alors :
- $ax^2+bx+c$ s'annule pour $x=x_0$ ;
- pour tout $x\in \left]-\infty~;~x_0\right[\cup \left]x_0~;~+\infty\right[$, $ax^2+bx+c$ est du même signe que $a$.
- Si $\Delta<0$, alors pour tout nombre réel $x$, $ax^2+bx+c$ est du même signe que $a$ (et ne s'annule jamais).
On peut retenir cette propriété en disant que $ax^2+bx+c$ est toujours du même signe que $a$, sauf entre ses deux racines éventuelles.
Déterminer le signe de $-2x^2+7x+15$, lorsque $x\in\mathbb{R}$.
Solution
Le trinôme du second degré $-2x^2+7x+15$ a deux racines : $5$ et $\dfrac{-3}{2}$.
le coefficient facteur de $x^2$ est $-2$, il est négatif, donc on a le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $5$ | $+\infty$ | |||
| Signe de $-2x^2+7x+15$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ |