Cours sur les fonctions trinôme

Définition - Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré (appelée aussi fonction trinôme du second degré) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont l'expression algébrique peut être écrite sous la forme :

$f(x)=ax^2+bx+c$

où $a\not=0$ , $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-5x-2$ .

L'expression $f(x)$ est sous la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ (qui est non nul)
$b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-5}$
$c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$

Par conséquent la fonction $f$ est une fonction trinôme du second degré.

Propriété - Forme canonique

Soient $a$ , $b$ et $c$ , trois nombres réels avec $a\neq0$ .

On considère la fonction polynôme de degré 2 défine sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ .

On peut écrire l'expression $f(x)$ sous la forme :

$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , où $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$

C'est la forme canonique de l'expression.

Exemple

Soit la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-6x+5$ .

L'expression $f(x)$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{2}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-6}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{5}$

Sa forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec :

$\alpha=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-6)}{2\times 2}=\dfrac{3}{2}}$
$\beta=\qmark{6}\onclass{7-}{blue}{f(\alpha)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=2\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2-6\times \dfrac{3}{2}+5=\dfrac{1}{2}}$

Donc la forme canonique de $f(x)$ est $\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}}$ .

Vérification

On développe la forme canonique :

$\begin{aligned} \class{1:blue}{2 \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}} &\onclass{2-}{blue}{=2 \left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{1}{2}}\\ &\onclass{3-}{blue}{=2x^2-6x+\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}}\\ &\onclass{4-}{blue}{=2x^2-6x+5} \end{aligned}$

On aboutit bien à l'expression $f(x)$ initiale.

Théorème - Variations d'une fonction trinôme du second degré

Soit $a$ , $b$ et $c$ , trois nombres réels où $a\neq0$ . Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$ où $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$

Si $a>0$ , le tableau de variations de $f$ est :

$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$

Variations de $f$
$f(\alpha)=\beta$
Si $a<0$ , le tableau de variations de $f$ est :

$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$

$f(\alpha)=\beta$

Variations de $f$

Propriété - Courbe représentative

Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de $f$ est une parabole dont le sommet $\mathrm{S}$ a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$ .

La parabole admet un axe de symétrie dont l'équation de droite est $x=\alpha$ .

Il y a deux cas possibles suivant le signe de $a$ :

$a>0$

\mathrm{S}(\alpha;\beta)

x=\alpha

parabole tournée vers le haut

$a<0$

\mathrm{S}(\alpha;\beta)

x=\alpha

parabole tournée vers le bas

Exemple

Etudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+6x-2$ .

L'expression $3x^2+6x-2$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec :

$a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{6}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$

On calcule :

$\alpha=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\times 3}=-1}$
$\beta=\qmark{6}\onclass{7-}{blue}{f(\alpha)=3\times (-1)^2+6\times (-1)-2=-5}$

Comme $a>0$ , le tableau de variations de $f$ est :

$x$	$-\infty$	$-1$	$+\infty$

Variations de $f$
		$-5$

$x$	$-\infty$	$-1$	$+\infty$

Variations de $f$
		$-5$

la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty~;~-1\right]$ ;

Quel est le sens de variation de $f$ sur $\left]-\infty~;~-1\right]$ ?
la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[-1~;~+\infty\right[$ ;

Quel est le sens de variation de $f$ sur $\left[-1~;~+\infty\right[$ ?
la fonction $f$ admet sur $\mathbb{R}$ un minimum qui vaut $-5$ et qui est atteint pour $x=-1$ .

Quel est l'extremum, pour quel valeur est-il atteint ?

La courbe représentative de $f$ :

est une parabole tournée vers le haut ;
les coordonnées de son sommet sont $\left(-1~;~-5\right)$ ;
son axe de symétrie est la droite d'équation $x=-1$ .

-5-4-3-2-112345-6-5-4-3-2-11234O

x=-1

\mathrm{S}(-1;-5)

Théorème - Racines du trinôme du second degré

Soit $a$ , $b$ et $c$ , trois nombres réels où $a\neq0$ .

L'équation $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré.

Le discriminant du trinôme du second degré est le nombre $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta>0$ , l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes qui sont :

$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme du second degré.
Si $\Delta=0$ , l'équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution réelle qui est $x_{0}=\dfrac{-b}{2a}$ .

Le nombre $x_0$ est la racine double du trinôme du second degré.
Si $\Delta<0$ , l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'admet pas de solution réelle.

Le trinôme du second degré n'a pas de racine réelle.

Exemple 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^2-4x+1=0$

L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{4}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-4}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{1}$ .

Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=(-4)^2-4\times 4\times 1=0}$ .

Comme $\Delta=0$ , l'équation a une unique solution qui est $x_0=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-4)}{2\times 4}=\dfrac{1}{2}}$ .

Exemple 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-2x^2+7x+15=0$

L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{-2}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{7}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{15}$ .

Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=7^2-4\times (-2)\times 15=169}$ .

Comme $\Delta>0$ , l'équation a deux solutions qui sont :

$x_1=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-\sqrt{169}}{2\times (-2)}=\dfrac{-7-13}{-4}=5}$

et

$x_2=\qmark{8}\onclass{9-}{blue}{\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+13}{-4}=\dfrac{-3}{2}}$ .

Exemple 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $3x^2+12x+19=0$

L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{3}$ ; $b=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{12}$ et $c=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{19}$ .

Le discriminant associé est $\Delta=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{b^2-4ac=12^2-4\times 3\times 19=-84}$ .

Comme $\Delta<0$ , l'équation n'a pas de solution réelle.

Théorème - Factorisation du trinôme du second degré

Les notations sont les mêmes que dans le théorème précédent.

Si $\Delta>0$ , $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ;
Si $\Delta=0$ , $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{0})^2$ ;
Si $\Delta<0$ , $ax^2+bx+c$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$ comme le produit de deux polynômes du premier degré.

Exemple 1

Le polynôme du second degré $20x^2-20x+5$ a une racine double égale à $\dfrac{1}{2}$ .

Donnez une factorisation dans $\mathbb{R}$ de l'expression $20x^2-20x+5$ .

Solution

$20x^2-20x+5=\htmlData{on=2-,blue-on=2}{20\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}$ ?

Exemple 2

Le trinôme du second degré $-2x^2+7x+15$ a deux racines distinctes : $5$ et $\dfrac{-3}{2}$ .

Donnez une factorisation dans $\mathbb{R}$ de l'expression $-2x^2+7x+15$ .

Solution

$-2x^2+7x+15=\htmlData{on=2-,blue-on=2}{-2\left(x-5\right)\left(x+\dfrac{3}{2}\right)}$ ?

Exemple 3

On admet que l'équation $3x^2+12x+19=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

Donnez une factorisation de $3x^2+12x+19$ dans $\mathbb{R}$ .

Solution

Avec des nombres réels, il n'est pas possible d'écrire $3x^2+12x+19$ comme produit de deux polynômes du premier degré.

Propriété - Somme et produit des racines

Soit $a$ , $b$ et $c$ , trois nombres réels où $a\neq0$ .

Si l'équation $ax^2+bx+c=0$ a deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$ alors :

$x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$
$x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$

Remarque

Dans le cas d'une racine double $x_0$ : $2x_0=\dfrac{-b}{a}$ et $x_0^2=\dfrac{c}{a}$ .

Exemple

Factoriser de tête l'expression $3x^2-4x+1$ .

On remarque que $1$ est racine évidente car $3-4+1=0$ .

Le produit des racines est égal à ? $\dfrac{1}{3}$ , donc l'autre racine est ? $\dfrac{1}{3}$ .

Par conséquent $3x^2-4x+1=3(x-1)\left(x-\dfrac{1}{3}\right)=(x-1)(3x-1)$ .

On peut vérifier la réponse en développant de tête l'expression obtenue.

Propriété - Signe du trinôme du second degré

Soit $a$ , $b$ et $c$ trois nombres réels où $a\neq0$ .

On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$ de discriminant $\Delta$ .

Si $\Delta>0$ , on appelle $x_1$ et $x_2$ les racines du trinôme avec $x_1<x_2$ , alors :

$x$ $-\infty$ $x_1$ $x_2$ $+\infty$

Signe de $ax^2+bx+c$ Signe de $a$ $0$ Signe contraire de $a$ $0$ Signe de $a$
Si $\Delta=0$ , on appelle $x_0$ , la racine double du trinôme, alors :
- $ax^2+bx+c$ s'annule pour $x=x_0$ ;
- pour tout $x\in \left]-\infty~;~x_0\right[\cup \left]x_0~;~+\infty\right[$ , $ax^2+bx+c$ est du même signe que $a$ .
Si $\Delta<0$ , alors pour tout nombre réel $x$ , $ax^2+bx+c$ est du même signe que $a$ (et ne s'annule jamais).

Remarque

On peut retenir cette propriété en disant que $ax^2+bx+c$ est toujours du même signe que $a$ , sauf entre ses deux racines éventuelles.

Exemple

Déterminer le signe de $-2x^2+7x+15$ , lorsque $x\in\mathbb{R}$ .

Solution

Le trinôme du second degré $-2x^2+7x+15$ a deux racines : $5$ et $\dfrac{-3}{2}$ .

le coefficient facteur de $x^2$ est $-2$ , il est négatif, donc on a le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{3}{2}$		$5$		$+\infty$
Signe de $-2x^2+7x+15$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$x$	$-\infty$	$\alpha$	$+\infty$

Variations de $f$
		$f(\alpha)=\beta$

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
Signe de $ax^2+bx+c$		Signe de $a$	$0$	Signe contraire de $a$	$0$	Signe de $a$