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Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.
Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $mx+p$.
Pour tout nombre réel $x$ : $f(x)=mx+p$.
Exemple
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}~x+3$ est une fonction affine car $f(x)$ est écrit sous la forme $mx+p$ avec :
- $m=\qmark{3}\onclass{4-}{blue}{\dfrac{1}{2}}$
- $p=\qmark{3}\onclass{4-}{blue}{3}$
- La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=mx$ est une fonction linéaire.
- La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=p$ est une fonction constante.
Remarques
- Une fonction linéaire est une fonction affine car $f(x)=mx$ est de la forme $mx+p$ avec $p=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{0}$.
- Une fonction constante est une fonction affine car $f(x)=p$ est de la forme $mx+p$ avec $m=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{0}$.
Exemples
- La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=\dfrac{3}{2}x$ est une fonction linéaire car $f(x)=mx$ avec $m=\dfrac{3}{2}$.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\pi$ est une fonction constante car
$f(x)=p$ avec $p=\pi$.
- La fonction nulle définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0$ est une fonction constante et aussi linéaire car $f(x)=p$ avec $p=0$ et aussi $f(x)=mx$ avec $m=0$.
Les nombres $m$ et $p$ sont des nombres réels fixés.
La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ est la droite d'équation $y=mx+p$.
Avec les notations précédentes :
- le nombre $m$ est le coefficient directeur de la droite ;
- le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Remarque
La droite passe par le point de coordonnées $(0~;~p)$, c'est à dire qu'elle coupe l'axe des ordonnées en $p$ (ordonnée à l'origine).
Exemple 1
Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{3}{5}x-7$.
- La courbe représentative de $f$ est la droite d'équation $y=\dfrac{3}{5}x-7$ ;
- le nombre $\dfrac{3}{5}$ est
le coefficient directeur de la droite ;
Pour une droite d'équation $y=mx+p$, comment s'appelle le nombre $m$ ?
- le nombre $-7$ est l'ordonnée à l'origine de la droite
.
Pour une droite d'équation $y=mx+p$, comment s'appelle le nombre $p$ ?
- Pour tracer la droite représentative de la fonction $f$ nous avons besoin de deux points distincts.
- Un premier point est donné par l'ordonnée à l'origine :
$\left(0~;~-7\right)$.
L'ordonnée à l'origine de la droite est $-7$, quelles sont les coordonnées du point associé ?
Pour le deuxième, on peut choisir de calculer l'image de $5$ par la fonction $f$ :
$f(5)=\onclass{10-}{blue}{\dfrac{3}{5}\times 5-7=3-7=-4}\qmark{9}$
Ainsi un autre point de la droite a pour coordonnées : $\left(5~;~-4\right)$.
- Un premier point est donné par l'ordonnée à l'origine :
$\left(0~;~-7\right)$.
Voici la droite représentative de la fonction affine considérée :
Exemple 2
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x$.
- La courbe représentative de $f$ est la droite d'équation $y=-2x$ ;
- la fonction $f$ est une fonction
linéaire
Quelle est la nature exacte de la fonction $f$ ?
donc la droite représentative passe par l'origine du repère ;Par quel point particulier du repère la droite passe-t-elle ?
pour trouver un deuxième point de la droite, on calcule, par exemple, l'image de $3$ par la fonction $f$ :
$f(3)=\qmark{7}\onclass{8-}{blue}{-2\times 3=-6}$
donc la droite passe par le point de coordonnées $\left(3~;~-6\right)$.
Voici la droite représentative de la fonction linéaire ainsi considérée :
Exemple 3
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3$.
- La fonction $f$ est une fonction
constante.
Quelle est la nature exacte de la fonction $f$ ?
- L'image de n'importe quel nombre réel par la fonction $f$ est égal à
$3$,
donc tous les points de la droite représentative ont la même
ordonnée $3$.
Quel est l'élément commun à toutes les coordonnées des points de la droite ?
- La droite représentative de $f$ est la droite parallèle à l'axe des
abscisses,
A quel axe du repère la droite est-elle parallèle ?elle coupe l'axe des ordonnées en $3$.
Voici la droite représentative de la fonction constante :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre deux nombres réels distincts $x_1$ et $x_2$ est égal à :
$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
C'est le quotient de la différence des images par la différence des antécédents.
Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$.
Quels que soient les nombres réels distincts $x_1$ et $x_2$, le taux d'accroissement est égal à $m$ :
$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$
Remarque
Pour une fonction affine $f$, la différence des images $f(x_1)-f(x_2)$ est proportionnelle à la différence des antécédents $x_1-x_2$ et le coefficient de proportionnalité est $m$ ; les fonctions affines sont les seules fonctions à avoir cette propriété.
Attention au vocabulaire
Dans le langage courant le mot accroissement est synonyme de croissance, en mathématiques le taux d'accroissement peut être une quantité négative associée à une décroissance.
Exemple 1
Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=3x+1$.
Alors sans faire aucun calcul on sait que :
$\dfrac{f(5)-f\left(\dfrac{1}{2}\right)}{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{f\left(\dfrac{1}{2}\right)-f(5)}{\dfrac{1}{2}-5}=\qmark{1}\onclass{2-}{blue}{3}$.
Voici la droite représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x+1$ :
En passant du point $\mathrm{A}$ au point $\mathrm{B}$ de la droite, la différence des ordonnées est de $3$ pour une différence de $1$ en abscisses ce qui donne le taux d'accroissement : $\dfrac{3}{1}=3$.
On peut prendre les points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ ailleurs sur la droite : ici la différence des ordonnées est de $6$ pour une différence de $2$ en abscisses, on obtient encore le même taux d'accroissement : $\dfrac{6}{2}=3$.
Peu importe où l'on prend les points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sur la droite,
on a toujours le même taux d'accroissement : $\dfrac{9}{3}=3$, etc.
Exemple 2
Sur le graphique ci-dessous on a dessiné la droite représentative d'une fonction affine $f$ :
Déterminer par lecture graphique le coefficient directeur de la droite.
On repère sur la droite deux points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ à coordonnées entières et on lit la différence des ordonnées et des abscisses entre les points pour calculer le taux d'accroissement.
Entre $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, l'ordonnée diminue de 3 et l'abscisse augmente de 7.
Par lecture graphique le coefficient directeur de la droite est : $\dfrac{-3}{7}$.
Exemple 3
Soit $f$ une fonction affine telle que $f\left(-4\right)=-2$ et $f\left(-6\right)=-7$.
Calculer le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction $f$.
Le coefficient directeur $m$ de la droite représentative de la fonction affine $f$ est égal au taux d'accroissement :
$\onclass{2-}{blue}{m=}\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{\dfrac{f\left(-4\right)-f\left(-6\right)}{-4-(-6)} =\dfrac{-2-(-7)}{-4+6}=\dfrac{-2+7}{-4+6}=\dfrac{5}{2}}$
Remarque : on peut aussi calculer $\dfrac{f\left(-6\right)-f\left(-4\right)}{-6-(-4)}$ qui donne le même résultat.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
Lorsque $x$ augmente, si $f(x)$ augmente la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
Lorsque $x$ augmente, si $f(x)$ diminue la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Exemples avec des représentations graphiques de fonctions affines
Fonction affine $f$ croissante :
Fonction affine $f$ décroissante :
On peut utiliser un tableau de variation pour présenter le sens de variation d'une fonction :
Fonction affine $f$ croissante :
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |
| Variation de $f$ |  | ||
Fonction affine $g$ décroissante :
| $x$ | $-\infty$ | $+\infty$ | |
| Variation de $g$ |  | ||
Sur la première ligne figurent toutes les valeurs possibles de $x$, c'est à dire l'ensemble des nombres réels.
L'ensemble des nombres réels est un ensemble infini de nombres aussi bien « du côté » négatif (que l'on symbolise par $-\infty$) que « du côté » positif que l'on symbolise par $+\infty$.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels fixés.
- Lorsque $m>0$, la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
- Lorsque $m<0$, la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
- Lorsque $m=0$, la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
Exemple
Indiquez le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
- $f(x)=5-2x$
- $g(x)=\dfrac{1}{3}x-2$
La fonction $f$ est une fonction affine où $f(x)=mx+p$ avec $m=\htmlData{on=3-,blue-on=3}{-2}$? ; ainsi $m< 0$ donc la fonction $f$ est ? décroissante sur $\mathbb{R}$.
La fonction $g$ est une fonction affine où $g(x)=mx+p$ avec $m=\htmlData{on=7-,blue-on=7}{\dfrac{1}{3}}$? ; ainsi $m> 0$ donc la fonction $g$ est ? croissante sur $\mathbb{R}$.
Les nombres $m$ et $p$ sont deux nombres réels fixés, on suppose que $m\not=0$.
La racine de l'expression $mx+p$ est la solution de l'équation $mx+p=0$.
Exemple
Quelle est la racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ ?
On résout l'équation :
$\begin{aligned} \dfrac{3}{4}x-7=0&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{4}x=7\\ &\Longleftrightarrow x=7\times \dfrac{4}{3}\\ &\Longleftrightarrow x=\dfrac{28}{3} \end{aligned}$
Voici la droite représentative de la fonction $f$ :
La racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses, c'est l'antécédent de $0$ par la fonction affine $f$.
Soit l'expression $mx+p$ où $m\in\mathbb{R}$ et $p\in\mathbb{R}$ avec $m\not=0$.
Soit $\alpha$ la racine de $mx+p$.
Lorsque $m>0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :
$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$ Signe de $mx+p$ $-$ $0$ $+$ Lorsque $m<0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :
$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$ Signe de $mx+p$ $+$ $0$ $-$
Exemple 1
Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de $3x+1$.
$3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{3}$, donc la racine de $3x+1$ est $\dfrac{-1}{3}$
L'expression est de la forme $mx+p$ avec $m=3$ qui est positif donc on a le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{-1}{3}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $3x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $x$ | $-\infty$ | $\color{magenta}{-\dfrac{1}{3}}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $f(x)$ | $\color{blue}{-}$ | $\color{magenta}{0}$ | $\color{red}{+}$ |
Exemple 2
Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de $3-2x$.
$-2x+3=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$, donc la racine de $-2x+3$ est $\dfrac{3}{2}$
L'expression $3-2x=-2x+3$ est de la forme $mx+p$ avec $m=-2$ qui est négatif donc on a le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $\dfrac{3}{2}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $3-2x$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $x$ | $-\infty$ | $\color{magenta}{\dfrac{3}{2}}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $f(x)$ | $\color{red}{+}$ | $\color{magenta}{0}$ | $\color{blue}{-}$ |