Cours sur les fonctions affines

Définition - Fonction affine

Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.

Une fonction affine $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $mx+p$ .

Pour tout nombre réel $x$ : $f(x)=mx+p$ .

L'ensemble des nombres réels que l'on note avec la lettre

\mathbb{R}

est l'ensemble de tous les nombres possibles : entiers, entiers relatifs, décimaux, rationnels (les fractions), irrationnels (comme par exemple

\pi

ou

\sqrt{2}

).

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}~x+3$ est une fonction affine car $f(x)$ est écrit sous la forme $mx+p$ avec :

Définitions - Fonctions affines particulières

Soient

m

et

p

deux nombres réels fixés.

La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=mx$ est une fonction linéaire.
La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=p$ est une fonction constante.

Remarques

Une fonction linéaire est une fonction affine car $f(x)=mx$ est de la forme $mx+p$ avec $p=\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{0}$ .
Une fonction constante est une fonction affine car $f(x)=p$ est de la forme $mx+p$ avec $m=\qmark{4}\onclass{5-}{blue}{0}$ .

Exemples

La fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=\dfrac{3}{2}x$ est une fonction linéaire car $f(x)=mx$ avec $m=\dfrac{3}{2}$ .
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\pi$ est une fonction constante car
$f(x)=p$ avec $p=\pi$ .
La fonction nulle définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0$ est une fonction constante et aussi linéaire car $f(x)=p$ avec $p=0$ et aussi $f(x)=mx$ avec $m=0$ .

Propriété - Représentation graphique

Les nombres $m$ et $p$ sont des nombres réels fixés.

La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ est la droite d'équation $y=mx+p$ .

Définitions

Avec les notations précédentes :

le nombre $m$ est le coefficient directeur de la droite ;
le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine de la droite.

Remarque

La droite passe par le point de coordonnées $(0~;~p)$ , c'est à dire qu'elle coupe l'axe des ordonnées en $p$ (ordonnée à l'origine).

Exemple 1

Soit la fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{3}{5}x-7$ .

La courbe représentative de $f$ est la droite d'équation $y=\dfrac{3}{5}x-7$ ;
le nombre $\dfrac{3}{5}$ est le coefficient directeur de la droite ;
Pour une droite d'équation $y=mx+p$ , comment s'appelle le nombre $m$ ?
le nombre $-7$ est l'ordonnée à l'origine de la droite .
Pour une droite d'équation $y=mx+p$ , comment s'appelle le nombre $p$ ?
Pour tracer la droite représentative de la fonction $f$ nous avons besoin de deux points distincts.
- Un premier point est donné par l'ordonnée à l'origine : $\left(0~;~-7\right)$ .
  L'ordonnée à l'origine de la droite est $-7$ , quelles sont les coordonnées du point associé ?
- Pour le deuxième, on peut choisir de calculer l'image de $5$ par la fonction $f$ :
  
  $f(5)=\onclass{10-}{blue}{\dfrac{3}{5}\times 5-7=3-7=-4}\qmark{9}$
  
  Ainsi un autre point de la droite a pour coordonnées : $\left(5~;~-4\right)$ .

Voici la droite représentative de la fonction affine considérée :

-7-6-5-4-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-1123O

Exemple 2

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x$ .

La courbe représentative de $f$ est la droite d'équation $y=-2x$ ;
la fonction $f$ est une fonction linéaire
Quelle est la nature exacte de la fonction $f$ ?
donc la droite représentative passe par l'origine du repère ;
Par quel point particulier du repère la droite passe-t-elle ?
pour trouver un deuxième point de la droite, on calcule, par exemple, l'image de $3$ par la fonction $f$ :

$f(3)=\qmark{7}\onclass{8-}{blue}{-2\times 3=-6}$

donc la droite passe par le point de coordonnées $\left(3~;~-6\right)$ .

Voici la droite représentative de la fonction linéaire ainsi considérée :

-7-6-5-4-3-2-11234567-7-6-5-4-3-2-1123O

Exemple 3

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3$ .

La fonction $f$ est une fonction constante.
Quelle est la nature exacte de la fonction $f$ ?
L'image de n'importe quel nombre réel par la fonction $f$ est égal à $3$ , donc tous les points de la droite représentative ont la même ordonnée $3$ .
Quel est l'élément commun à toutes les coordonnées des points de la droite ?
La droite représentative de $f$ est la droite parallèle à l'axe des abscisses,
A quel axe du repère la droite est-elle parallèle ?
elle coupe l'axe des ordonnées en $3$ .

Voici la droite représentative de la fonction constante :

-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-112345O

Définition - Taux d'accroissement

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ .

Le taux d'accroissement de $f$ entre deux nombres réels distincts $x_1$ et $x_2$ est égal à :

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

C'est le quotient de la différence des images par la différence des antécédents.

Propriété - Taux d'accroissement d'une fonction affine

Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés.

Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ .

Quels que soient les nombres réels distincts $x_1$ et $x_2$ , le taux d'accroissement est égal à $m$ :

$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$

Remarque

Pour une fonction affine $f$ , la différence des images $f(x_1)-f(x_2)$ est proportionnelle à la différence des antécédents $x_1-x_2$ et le coefficient de proportionnalité est $m$ ; les fonctions affines sont les seules fonctions à avoir cette propriété.

Attention au vocabulaire

Dans le langage courant le mot accroissement est synonyme de croissance, en mathématiques le taux d'accroissement peut être une quantité négative associée à une décroissance.

Exemple 1

Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x)=3x+1$ .

Alors sans faire aucun calcul on sait que :

$\dfrac{f(5)-f\left(\dfrac{1}{2}\right)}{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{f\left(\dfrac{1}{2}\right)-f(5)}{\dfrac{1}{2}-5}=\qmark{1}\onclass{2-}{blue}{3}$ .

Voici la droite représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x+1$ :

-7-6-5-4-3-2-11234567-112345678910O13AB26AB39AB

En passant du point $\mathrm{A}$ au point $\mathrm{B}$ de la droite, la différence des ordonnées est de $3$ pour une différence de $1$ en abscisses ce qui donne le taux d'accroissement : $\dfrac{3}{1}=3$ .

On peut prendre les points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ ailleurs sur la droite : ici la différence des ordonnées est de $6$ pour une différence de $2$ en abscisses, on obtient encore le même taux d'accroissement : $\dfrac{6}{2}=3$ .

Peu importe où l'on prend les points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ sur la droite,

on a toujours le même taux d'accroissement : $\dfrac{9}{3}=3$ , etc.

Exemple 2

Sur le graphique ci-dessous on a dessiné la droite représentative d'une fonction affine $f$ :

-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345O

Déterminer par lecture graphique le coefficient directeur de la droite.

-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345OAB-37

On repère sur la droite deux points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ à coordonnées entières et on lit la différence des ordonnées et des abscisses entre les points pour calculer le taux d'accroissement.

Entre $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ , l'ordonnée diminue de 3 et l'abscisse augmente de 7.

Par lecture graphique le coefficient directeur de la droite est : $\dfrac{-3}{7}$ .

Exemple 3

Soit $f$ une fonction affine telle que $f\left(-4\right)=-2$ et $f\left(-6\right)=-7$ .

Calculer le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction $f$ .

Le coefficient directeur $m$ de la droite représentative de la fonction affine $f$ est égal au taux d'accroissement :

$\onclass{2-}{blue}{m=}\qmark{2}\onclass{3-}{blue}{\dfrac{f\left(-4\right)-f\left(-6\right)}{-4-(-6)} =\dfrac{-2-(-7)}{-4+6}=\dfrac{-2+7}{-4+6}=\dfrac{5}{2}}$

Remarque : on peut aussi calculer $\dfrac{f\left(-6\right)-f\left(-4\right)}{-6-(-4)}$ qui donne le même résultat.

Définition - Fonction croissante/décroissante

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ .

Lorsque $x$ augmente, si $f(x)$ augmente la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Lorsque $x$ augmente, si $f(x)$ diminue la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemples avec des représentations graphiques de fonctions affines

Fonction affine $f$ croissante :

-5-4-3-2-112345-3-2-112345O

x

f(x)

Fonction affine $f$ décroissante :

-5-4-3-2-112345-3-2-112345O

x

f(x)

On peut utiliser un tableau de variation pour présenter le sens de variation d'une fonction :

Fonction affine $f$ croissante :

$x$	$-\infty$	$+\infty$

Variation de $f$

Fonction affine $g$ décroissante :

$x$	$-\infty$	$+\infty$

Variation de $g$

Sur la première ligne figurent toutes les valeurs possibles de $x$ , c'est à dire l'ensemble des nombres réels.

L'ensemble des nombres réels est un ensemble infini de nombres aussi bien « du côté » négatif (que l'on symbolise par $-\infty$ ) que « du côté » positif que l'on symbolise par $+\infty$ .

Propriété - Variation d'une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels fixés.

Lorsque $m>0$ , la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .
Lorsque $m<0$ , la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .
Lorsque $m=0$ , la fonction $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple

Indiquez le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=5-2x$
$g(x)=\dfrac{1}{3}x-2$

La fonction $f$ est une fonction affine où $f(x)=mx+p$ avec $m=\htmlData{on=3-,blue-on=3}{-2}$ ? ; ainsi $m< 0$ donc la fonction $f$ est ? décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Quel est le sens de variation de la fonction

f

?

La fonction $g$ est une fonction affine où $g(x)=mx+p$ avec $m=\htmlData{on=7-,blue-on=7}{\dfrac{1}{3}}$ ? ; ainsi $m> 0$ donc la fonction $g$ est ? croissante sur $\mathbb{R}$ .

Quel est le sens de variation de la fonction

g

?

Définition - Racine de

mx+p

Les nombres $m$ et $p$ sont deux nombres réels fixés, on suppose que $m\not=0$ .

La racine de l'expression $mx+p$ est la solution de l'équation $mx+p=0$ .

Exemple

Quelle est la racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ ?

On résout l'équation :

$\begin{aligned} \dfrac{3}{4}x-7=0&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{4}x=7\\ &\Longleftrightarrow x=7\times \dfrac{4}{3}\\ &\Longleftrightarrow x=\dfrac{28}{3} \end{aligned}$

Interprétation graphique

Voici la droite représentative de la fonction $f$ :

La racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses, c'est l'antécédent de $0$ par la fonction affine $f$ .

Propriété - Signe de

mx+p

Soit l'expression $mx+p$ où $m\in\mathbb{R}$ et $p\in\mathbb{R}$ avec $m\not=0$ .

Soit $\alpha$ la racine de $mx+p$ .

Lorsque $m>0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :

$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$

Signe de $mx+p$ $-$ $0$ $+$
Lorsque $m<0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :

$x$ $-\infty$ $\alpha$ $+\infty$

Signe de $mx+p$ $+$ $0$ $-$

Exemple 1

Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de $3x+1$ .

$3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{3}$ , donc la racine de $3x+1$ est $\dfrac{-1}{3}$

L'expression est de la forme $mx+p$ avec $m=3$ qui est positif donc on a le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$\dfrac{-1}{3}$		$+\infty$
Signe de $3x+1$		$-$	$0$	$+$

$x$	$-\infty$		$\color{magenta}{-\dfrac{1}{3}}$		$+\infty$
Signe de $f(x)$		$\color{blue}{-}$	$\color{magenta}{0}$	$\color{red}{+}$

Exemple 2

Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de $3-2x$ .

$-2x+3=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ , donc la racine de $-2x+3$ est $\dfrac{3}{2}$

L'expression $3-2x=-2x+3$ est de la forme $mx+p$ avec $m=-2$ qui est négatif donc on a le tableau de signes :

$x$	$-\infty$		$\dfrac{3}{2}$		$+\infty$
Signe de $3-2x$		$+$	$0$	$-$

$x$	$-\infty$		$\color{magenta}{\dfrac{3}{2}}$		$+\infty$
Signe de $f(x)$		$\color{red}{+}$	$\color{magenta}{0}$	$\color{blue}{-}$