Les nombres $m$ et $p$ sont deux nombres réels fixés, on suppose que $m\not=0$.
La racine de l'expression $mx+p$ est la solution de l'équation $mx+p=0$.
Exemple
Quelle est la racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ ? Interpréter graphiquement.
On résout l'équation :
$\begin{aligned} \dfrac{3}{4}x-7=0&\Longleftrightarrow \dfrac{3}{4}x=7\\ &\Longleftrightarrow x=7\times \dfrac{4}{3}\\ &\Longleftrightarrow x=\dfrac{28}{3} \end{aligned}$
Interprétation graphique
Voici la droite représentative de la fonction $f$ :
La racine de $\dfrac{3}{4}x-7$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses, c'est l'antécédent de $0$ par la fonction affine $f$.
Soit l'expression $mx+p$ où $m\in\mathbb{R}$ et $p\in\mathbb{R}$ avec $m\not=0$.
Soit $x_0$ la racine de $mx+p$.
Lorsque $m>0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :
| $x$ | $-\infty$ | $x_0$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $mx+p$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Lorsque $m<0$ le signe de $mx+p$ est donné dans le tableau :
| $x$ | $-\infty$ | $x_0$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $mx+p$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Exemple
Déterminer le signe sur $\mathbb{R}$ de $3x+1$ et de $3-2x$.
Signe de $3x+1$
Nous cherchons déjà la racine de $3x+1$ :
$3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{3}$, donc la racine de $3x+1$ est $\dfrac{-1}{3}$
L'expression est de la forme $mx+p$ avec $m=3$ qui est positif donc on a le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $\color{magenta}{-\dfrac{1}{3}}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $f(x)$ | $\color{blue}{-}$ | $\color{magenta}{0}$ | $\color{red}{+}$ |
Signe de $3-2x$
Nous commençons par déterminer la racine de $3-2x$ :
$-2x+3=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$, donc la racine de $-2x+3$ est $\dfrac{3}{2}$
L'expression $3-2x=-2x+3$ est de la forme $mx+p$ avec $m=-2$ qui est négatif donc on a le tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $\color{magenta}{\dfrac{3}{2}}$ | $+\infty$ | ||
| Signe de $f(x)$ | $\color{red}{+}$ | $\color{magenta}{0}$ | $\color{blue}{-}$ |