La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{\text{u}}$ et $\overrightarrow{\text{v}}$ est le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{w}}$ associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur $\overrightarrow{\text{u}}$ et de vecteur $\overrightarrow{\text{v}}$.
On écrit alors : $\overrightarrow{\mathrm{w}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}$.
On peut également écrire $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$, c'est la relation de Chasles.
Exemple 1
Sur la figure ci-dessous, construire la somme $\overrightarrow{\mathrm{ON}}+\overrightarrow{\mathrm{NG}}$.
Les vecteurs sont idéalement positionnés, on peut tracer directement la somme :
Exemple 2
Sur la figure ci-dessous, construire la somme $\overrightarrow{\mathrm{IR}}+\overrightarrow{\mathrm{IO}}$.
Commençons par tracer les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{IR}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{IO}}$ :
Nous remarquons qu'ils ne sont pas correctement positionnés pour réaliser directement la somme. Représentons le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{IO}}$ à partir de l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{IR}}$ :
Nous pouvons alors construire la somme :
Exemple 3
Sur la figure ci-dessous, construire la somme $\overrightarrow{\mathrm{ER}}+\overrightarrow{\mathrm{SR}}$.
Commençons par tracer les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{ER}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ :
Nous remarquons que les vecteurs ne sont pas correctement disposés pour pouvoir faire la somme. Nous représentons le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ à partir de l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{ER}}$ :
Nous pouvons alors effectuer la somme :
L'opposé d'un vecteur $\overrightarrow{\mathrm{u}}\not= \overrightarrow{\mathrm{0}}$ est le vecteur de même direction, de même norme et de sens contraire, on le note $- \overrightarrow{\mathrm{u}}$.
L'opposé de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est le vecteur $- \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.
L'opposé de $\overrightarrow{\mathrm{0}}$ est $\overrightarrow{\mathrm{0}}$.
Remarques importantes
1. Enchaîner la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et de son opposé $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ revient à faire la translation de vecteur nul :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\htmlStyle{color: red;}{\left(-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\htmlStyle{color: red;}{\overrightarrow{\mathrm{BA}}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$.
On retiendra que la somme d'un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul.
2. Pour soustraire un vecteur on ajoute son opposé, par exemple :
$\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\left(-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}$.