On considère la translation qui transforme un point $\mathrm{M}$ en un point $\mathrm{M}'$ distinct de $\mathrm{M}$.

Le vecteur associé à la translation se représente par une flèche :

Ce vecteur se note $\overrightarrow{\mathrm{MM'}}$, on peut aussi le noter par une seule lettre comme par exemple $\overrightarrow{\mathrm{u}}$.

Cas particulier du vecteur nul

La translation qui transforme un point $\mathrm{M}$ en lui même laisse les figures inchangées, le vecteur associé à cette translation est le vecteur nul noté $\overrightarrow{\mathrm{0}}$. On ne peut pas le représenter par une flèche.

Soit $\overrightarrow{\mathrm{MM'}}$ un vecteur non nul :

ce vecteur est caractérisé par :

• sa direction (« inclinaison » de la droite $\mathrm{(MM')}$) ;
• son sens (de $\mathrm{M}$ vers $\mathrm{M'}$) ;
• sa longueur appelée norme.

Cas particulier du vecteur nul

Le vecteur nul est de norme 0, il n'a ni direction ni sens.

On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils définissent la même translation.

En particulier deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Soient $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ quatre points distincts du plan.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ si et seulement si $\mathrm{AB\underline{D}C}$ est un parallélogramme.

La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{\text{u}}$ et $\overrightarrow{\text{v}}$ est le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{w}}$ associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur $\overrightarrow{\text{u}}$ et de vecteur $\overrightarrow{\text{v}}$.

On écrit alors : $\overrightarrow{\mathrm{w}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}$.

On peut également écrire $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$, c'est la relation de Chasles.