Les notations sont les mêmes que dans le théorème sur les racines du trinôme.
Si $\Delta>0$, $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ;
si $\Delta=0$, $ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme factorisée $a(x-x_{0})^2$ ;
si $\Delta<0$, $ax^2+bx+c$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$ comme le produit de deux polynômes du premier degré.
Dans les deux cas suivants, donner une forme factorisée de l'expression et vérifier en développant.
Nous voyons que $5x^{2}-45x+40$ est un trinôme du second degré qui est écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=5$.
Nous savons de plus que le trinôme considéré admet les deux racines $x_1=8$ et $x_2=1$.
Nous pouvons donc écrire : $5x^{2}-45x+40=a(x-x_1)(x-x_2)=5\left(x-8\right)\left(x-1\right)$.
Vérification :
Développons en utilisant la double distributivité :
$5\left(x-8\right)\left(x-1\right)=5\left(x^{2}-x-8x+8\right)=5\left(x^{2}-9x+8\right)=5x^{2}-45x+40$.
Nous retrouvons bien l'expression initiale.
Nous voyons que $-2x^{2}-28x-98$ est un trinôme du second degré qui est écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-2$.
Nous savons de plus que le trinôme considéré admet la racine double $x_0=-7$.
Nous pouvons donc écrire : $-2x^{2}-28x-98=a(x-x_0)^2=-2\left(x+7\right)^2$.
Vérification :
Développons en utilisant une identité remarquable :
$-2\left(x+7\right)^2=-2\left(x^{2}+14x+49\right)=-2x^{2}-28x-98$.
Nous retrouvons bien l'expression initiale.