Soient deux vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$.

On considère trois points $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}$.

Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ est noté $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}$.

C'est le nombre réel défini de la façon suivante :

• Si $\overrightarrow{\mathrm{u}}\not=\overrightarrow{\mathrm{0}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}\not=\overrightarrow{\mathrm{0}}$ : $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=||\overrightarrow{\mathrm{u}}|| \times ||\overrightarrow{\mathrm{v}}||\times \cos\left(\widehat{\mathrm{AOB}}\right)=\mathrm{OA}\times \mathrm{OB}\times \cos\left(\widehat{\mathrm{AOB}}\right)$.
• Si $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$ ou/et $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$ : $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=0$.

Soient $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ deux vecteurs colinéaires non nuls.

• Si $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ sont de même sens : $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=||\overrightarrow{\mathrm{u}}|| \times ||\overrightarrow{\mathrm{v}}||$ (c'est le produit des normes) ;

• si $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ sont de sens contraires : $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=-||\overrightarrow{\mathrm{u}}|| \times ||\overrightarrow{\mathrm{v}}||$

  (c'est l'opposé du produit des normes).

Deux vecteurs non nuls sont dit orthogonaux lorsque leurs directions sont orthogonales.

On convient que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Etymologie : de ortho (droit) et gonia (angle).

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ non nuls.

Soient $\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$.

On appelle $\mathrm{H}$ le projeté orthogonal de $\mathrm{B}$ sur $\mathrm{(OA)}$.

Soit $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ un vecteur.

Le carré scalaire de $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ est $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{u}}=||\overrightarrow{\mathrm{u}}|| \times ||\overrightarrow{\mathrm{u}}||=||\overrightarrow{\mathrm{u}}||^2$.

On note : $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}^2$.

Etant donné deux points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, le carré scalaire de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est $\overrightarrow{\mathrm{AB}}^2=\mathrm{AB}\times \mathrm{AB}=\mathrm{AB}^2$.

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{w}}$ et tout nombre réel $\lambda$ :

• $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} =\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{u}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{w}}) =\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{w}}$

• $(\lambda\overrightarrow{\mathrm{u}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} =\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(\lambda\overrightarrow{\mathrm{v}}) =\lambda (\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}})$,

  en particulier $(-\overrightarrow{\mathrm{u}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} =-(\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}})$ et $\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot(-\overrightarrow{\mathrm{v}}) =-(\overrightarrow{\mathrm{u}}.\overrightarrow{\mathrm{v}})$

Identités remarquables

• $\left(\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}\right)^2 =\overrightarrow{\mathrm{u}}^2+2 \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}^2$
• $\left(\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{v}}\right)^2 =\overrightarrow{\mathrm{u}}^2-2 \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}^2$
• $\left(\overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{u}}-\overrightarrow{\mathrm{v}}\right) =\overrightarrow{\mathrm{u}}^2-\overrightarrow{\mathrm{v}}^2$

On considère un triangle ABC. On pose : $a=\mathrm{BC}$, $b=\mathrm{AC}$ et $c=\mathrm{AB}$.

Alors on a la relation : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(\widehat{\text{A}}\right)$ (formule d'Al Kashi).

On peut aussi écrire : $\mathrm{BC}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{AB}^2-2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Le plan est muni d'un base orthonormée.

Dans cette base, on considère les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}\begin{pmatrix}x_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\\y_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{v}}\begin{pmatrix}x_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\\y_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\end{pmatrix}$.

Alors :

$\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}= x_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\times x_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}+y_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\times y_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}$.