Déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme
Exercice d'entraînement
✏️ Entraînement
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points :
$\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On donne les points :
$\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
1. $\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
1. $\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BU}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SI}}$ :
1. $\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BU}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SI}}$ :
$\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{B}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{B}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{2-\dfrac{1}{2}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=on}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{x_\mathrm{I}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=off}{y_\mathrm{I}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{5}}\\[1em] \htmlData{state=off}{-8-\left(-\dfrac{19}{2}\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=off}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
On remarque que $\overrightarrow{\mathrm{BU}}=\overrightarrow{\mathrm{SI}}$, donc le quadrilatère $\mathrm{BUIS}$ est un parallélogramme.
1. $\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BU}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SI}}$ :
$\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{B}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{B}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{2-\dfrac{1}{2}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=on}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{I}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{I}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{5}}\\[1em] \htmlData{state=on}{-8-\left(-\dfrac{19}{2}\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=on}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
On remarque que $\overrightarrow{\mathrm{BU}}=\overrightarrow{\mathrm{SI}}$, donc le quadrilatère $\mathrm{BUIS}$ est un parallélogramme.
1. $\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BU}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SI}}$ :
$\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{B}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{B}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{2}{5}\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{2-\dfrac{1}{2}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{BU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=on}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{I}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{I}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{5}}\\[1em] \htmlData{state=on}{-8-\left(-\dfrac{19}{2}\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SI}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{1}{10}}\\[1em] \htmlData{state=on}{\dfrac{3}{2}} \end{pmatrix}$
On remarque que $\overrightarrow{\mathrm{BU}}=\overrightarrow{\mathrm{SI}}$, donc le quadrilatère $\mathrm{BUIS}$ est un parallélogramme.
2. $\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
2. $\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SU}}$ :
2. $\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SU}}$ :
$\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{E}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{E}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-6-\left(-2\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{0-3} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-4}\\[1em] \htmlData{state=on}{-3} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=off}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{17}{3}\right)}\\[1em] \htmlData{state=off}{-5-\left(-9\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{5}\\[1em] \htmlData{state=off}{4} \end{pmatrix}$
Ainsi $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\not= \overrightarrow{\mathrm{SU}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ECUS}$ n'est pas un parallélogramme.
2. $\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SU}}$ :
$\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{E}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{E}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-6-\left(-2\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{0-3} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-4}\\[1em] \htmlData{state=on}{-3} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{17}{3}\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{-5-\left(-9\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{5}\\[1em] \htmlData{state=on}{4} \end{pmatrix}$
Ainsi $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\not= \overrightarrow{\mathrm{SU}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ECUS}$ n'est pas un parallélogramme.
2. $\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{SU}}$ :
$\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{E}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{E}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-6-\left(-2\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{0-3} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-4}\\[1em] \htmlData{state=on}{-3} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{U}-x_\mathrm{S}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{U}-y_\mathrm{S}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{17}{3}\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{-5-\left(-9\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{SU}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{5}\\[1em] \htmlData{state=on}{4} \end{pmatrix}$
Ainsi $\overrightarrow{\mathrm{EC}}\not= \overrightarrow{\mathrm{SU}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ECUS}$ n'est pas un parallélogramme.
Déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme - Exercice d'entraînement
Résumé
Correction de l'exercice d'entraînement proposé à la fin de l'épisode 1.
