Géométrie repérée
Déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme
🔍 Exemple 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points :
$\mathrm{A}\left(-7 ; -8\right)$ $\mathrm{B}\left(2 ; -1\right)$ $\mathrm{C}\left(9 ; 9\right)$ $\mathrm{D}\left(19 ; 17\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est-il un parallélogramme ?
🔍 Exemple 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points :
$\mathrm{A}\left(-7 ; -8\right)$ $\mathrm{B}\left(2 ; -1\right)$ $\mathrm{C}\left(9 ; 9\right)$ $\mathrm{D}\left(19 ; 17\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est-il un parallélogramme ?
Un quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$.
🔍 Exemple 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points :
$\mathrm{A}\left(-7 ; -8\right)$ $\mathrm{B}\left(2 ; -1\right)$ $\mathrm{C}\left(9 ; 9\right)$ $\mathrm{D}\left(19 ; 17\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{2-\left(-7\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{-1-\left(-8\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{9}\\[1em] \htmlData{state=on}{7} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{D}}\\ \htmlData{state=off}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{D}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{9-19}\\[1em] \htmlData{state=off}{9-17} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=off}{-10}\\[1em] \htmlData{state=off}{-8} \end{pmatrix}$
On a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\not=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ n'est pas un parallélogramme.
🔍 Exemple 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points :
$\mathrm{A}\left(-7 ; -8\right)$ $\mathrm{B}\left(2 ; -1\right)$ $\mathrm{C}\left(9 ; 9\right)$ $\mathrm{D}\left(19 ; 17\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{2-\left(-7\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{-1-\left(-8\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{9}\\[1em] \htmlData{state=on}{7} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{D}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{D}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{9-19}\\[1em] \htmlData{state=on}{9-17} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-10}\\[1em] \htmlData{state=on}{-8} \end{pmatrix}$
On a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\not=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ n'est pas un parallélogramme.
🔍 Exemple 1
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on considère les points :
$\mathrm{A}\left(-7 ; -8\right)$ $\mathrm{B}\left(2 ; -1\right)$ $\mathrm{C}\left(9 ; 9\right)$ $\mathrm{D}\left(19 ; 17\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ est-il un parallélogramme ?
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{2-\left(-7\right)}\\[1em] \htmlData{state=on}{-1-\left(-8\right)} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{9}\\[1em] \htmlData{state=on}{7} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{x_\mathrm{C}-x_\mathrm{D}}\\ \htmlData{state=on}{y_\mathrm{C}-y_\mathrm{D}} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{9-19}\\[1em] \htmlData{state=on}{9-17} \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{\mathrm{DC}}\begin{pmatrix} \htmlData{state=on}{-10}\\[1em] \htmlData{state=on}{-8} \end{pmatrix}$
On a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\not=\overrightarrow{\mathrm{DC}}$, par conséquent le quadrilatère $\mathrm{ABCD}$ n'est pas un parallélogramme.
🔍 Exemple 2
Dans un repère orthonormé du plan on donne les points :
$\mathrm{N}\left(\dfrac{4}{5} ; -7\right)$ $\mathrm{A}\left(3 ; 6\right)$ $\mathrm{G}\left(\dfrac{1}{5} ; 8\right)$ $\mathrm{E}\left(\dfrac{12}{5} ; 21\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{G}\mathrm{E}$ est-il un parallélogramme ?
🔍 Exemple 2
Dans un repère orthonormé du plan on donne les points :
$\mathrm{N}\left(\dfrac{4}{5} ; -7\right)$ $\mathrm{A}\left(3 ; 6\right)$ $\mathrm{G}\left(\dfrac{1}{5} ; 8\right)$ $\mathrm{E}\left(\dfrac{12}{5} ; 21\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{G}\mathrm{E}$ est-il un parallélogramme ?
Illustration :
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{EG}}$.
🔍 Exemple 2
Dans un repère orthonormé du plan on donne les points :
$\mathrm{N}\left(\dfrac{4}{5} ; -7\right)$ $\mathrm{A}\left(3 ; 6\right)$ $\mathrm{G}\left(\dfrac{1}{5} ; 8\right)$ $\mathrm{E}\left(\dfrac{12}{5} ; 21\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{G}\mathrm{E}$ est-il un parallélogramme ?
Illustration :
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{EG}}$.
$\mathrm{N}\left(\dfrac{4}{5} ; -7\right)$ $\mathrm{A}\left(3 ; 6\right)$ $\mathrm{G}\left(\dfrac{1}{5} ; 8\right)$ $\mathrm{E}\left(\dfrac{12}{5} ; 21\right)$
$\overrightarrow{\mathrm{AN}}\begin{pmatrix}x_\mathrm{N}-x_\mathrm{A}\\[1em]y_\mathrm{N}-y_\mathrm{A}\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AN}}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}-3\\[1em]-7-6\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{AN}}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{5}\\[1em]-13\end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{\mathrm{EG}}\begin{pmatrix}x_\mathrm{G}-x_\mathrm{E}\\[1em]y_\mathrm{G}-y_\mathrm{E}\end{pmatrix}$ soit $\overrightarrow{\mathrm{EG}}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}-\dfrac{12}{5}\\[1em]8-21\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{\mathrm{EG}}\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{5}\\[1em]-13\end{pmatrix}$.
On remarque que $\overrightarrow{\mathrm{AN}} = \overrightarrow{\mathrm{EG}}$, donc le quadrilatère $\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{G}\mathrm{E}$ est un parallélogramme.
✏️ Entraînement
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points :
$\mathrm{U}\left(-\dfrac{1}{2} ; 2\right)$ ; $\mathrm{B}\left(-\dfrac{2}{5} ; \dfrac{1}{2}\right)$ ; $\mathrm{S}\left(\dfrac{3}{5} ; -\dfrac{19}{2}\right)$ et $\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2} ; -8\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{B}\mathrm{U}\mathrm{I}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
On donne les points :
$\mathrm{E}\left(-2 ; 3\right)$ ; $\mathrm{U}\left(-\dfrac{2}{3} ; -5\right)$ ; $\mathrm{C}\left(-6 ; 0\right)$ et $\mathrm{S}\left(-\dfrac{17}{3} ; -9\right)$
Le quadrilatère $\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{U}\mathrm{S}$ est-il un parallélogramme ?
Déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme
Résumé
Dans un repère du plan on donne les coordonnées des quatre sommets d'un quadrilère.
Il s'agit de déterminer si ce quadrilatère est un parallélogramme.
Le diaporama présente deux exemples et un exercice d'entraînement dont la correction figure dans l'épisode 2.
