Soit $a$ un nombre réel positif ou nul.
La racine carrée de $a$ notée $\sqrt{a}$ est le nombre réel positif ou nul dont le carré est $a$.
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=0$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=0$
$\sqrt{1}=\qmark$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=0$
$\sqrt{1}=1$
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=0$
$\sqrt{1}=1$
La racine carrée des autres nombres entiers positifs ne peut pas s'écrire sans utiliser le symbole $\sqrt{\phantom{1}}$. Par exemple, $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire sans utiliser le symbole $\sqrt{\phantom{1}}$.
Remarques
La racine carrée d'un carré parfait est un nombre entier, par exemple :
$\sqrt{36}=6$
$\sqrt{16}=4$
$\sqrt{81}=9$
$\sqrt{64}=8$
$\sqrt{49}=7$
$\sqrt{0}=0$
$\sqrt{1}=1$
La racine carrée des autres nombres entiers positifs ne peut pas s'écrire sans utiliser le symbole $\sqrt{\phantom{1}}$. Par exemple, $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire sans utiliser le symbole $\sqrt{\phantom{1}}$.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs ou nuls.
$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ ; $\sqrt{a^2}=a$
$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b\not=0$)
Exemples
Dans les exemples qui suivent il s'agit de calculer et écrire le nombre proposé sans symbole de racine carrée si cela est possible ou sous la forme $a \sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers, $b$ étant positif le plus petit possible.
Exemple 1
$\begin{aligned} \sqrt{18}&=\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 1
$\begin{aligned} \sqrt{18}&=\sqrt{9\times 2}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 1
$\begin{aligned} \sqrt{18}&=\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{9} \times \sqrt{2}\\ & \end{aligned}$
Exemple 1
$\begin{aligned} \sqrt{18}&=\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{9} \times \sqrt{2}\\ &=3\sqrt{2} \end{aligned}$
Exemple 2
$\begin{aligned} -7\sqrt{500}&=\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 2
$\begin{aligned} -7\sqrt{500}&=-7\sqrt{100\times 5}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 2
$\begin{aligned} -7\sqrt{500}&=-7\sqrt{100\times 5}\\ &=-7\sqrt{100} \times \sqrt{5}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 2
$\begin{aligned} -7\sqrt{500}&=-7\sqrt{100\times 5}\\ &=-7\sqrt{100} \times \sqrt{5}\\ &=-7\times 10\sqrt{5}\\ & \end{aligned}$
Exemple 2
$\begin{aligned} -7\sqrt{500}&=-7\sqrt{100\times 5}\\ &=-7\sqrt{100} \times \sqrt{5}\\ &=-7\times 10\sqrt{5}\\ &=-70\sqrt{5} \end{aligned}$
Exemple 3
$\begin{aligned} 6\sqrt{20} \times \left(-2\right)\sqrt{20}&=\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 3
$\begin{aligned} 6\sqrt{20} \times \left(-2\right)\sqrt{20}&=6\times \left(-2\right)\times \left(\sqrt{20}\right)^{2}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 3
$\begin{aligned} 6\sqrt{20} \times \left(-2\right)\sqrt{20}&=6\times \left(-2\right)\times \left(\sqrt{20}\right)^{2}\\ &=-12\times 20\\ & \end{aligned}$
Exemple 3
$\begin{aligned} 6\sqrt{20} \times \left(-2\right)\sqrt{20}&=6\times \left(-2\right)\times \left(\sqrt{20}\right)^{2}\\ &=-12\times 20\\ &=-240 \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=6\sqrt{16\times 7}+\sqrt{4\times 7}-3\sqrt{49\times 7}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=6\sqrt{16\times 7}+\sqrt{4\times 7}-3\sqrt{49\times 7}\\ &=6\sqrt{16} \times \sqrt{7}+\sqrt{4} \times \sqrt{7}-3\sqrt{49} \times \sqrt{7}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=6\sqrt{16\times 7}+\sqrt{4\times 7}-3\sqrt{49\times 7}\\ &=6\sqrt{16} \times \sqrt{7}+\sqrt{4} \times \sqrt{7}-3\sqrt{49} \times \sqrt{7}\\ &=6\times 4\sqrt{7}+2\sqrt{7}-3\times 7\sqrt{7}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=6\sqrt{16\times 7}+\sqrt{4\times 7}-3\sqrt{49\times 7}\\ &=6\sqrt{16} \times \sqrt{7}+\sqrt{4} \times \sqrt{7}-3\sqrt{49} \times \sqrt{7}\\ &=6\times 4\sqrt{7}+2\sqrt{7}-3\times 7\sqrt{7}\\ &=24\sqrt{7}+2\sqrt{7}-21\sqrt{7}\\ & \end{aligned}$
Exemple 4
Ecrire sous la forme $a \sqrt{7}$ avec $a$ un nombre entier relatif.
$\begin{aligned} 6\sqrt{112}+\sqrt{28}-3\sqrt{343} &=6\sqrt{16\times 7}+\sqrt{4\times 7}-3\sqrt{49\times 7}\\ &=6\sqrt{16} \times \sqrt{7}+\sqrt{4} \times \sqrt{7}-3\sqrt{49} \times \sqrt{7}\\ &=6\times 4\sqrt{7}+2\sqrt{7}-3\times 7\sqrt{7}\\ &=24\sqrt{7}+2\sqrt{7}-21\sqrt{7}\\ &=5\sqrt{7} \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49\times 3}}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49\times 3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49} \times \sqrt{3}}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49\times 3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49} \times \sqrt{3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{7 \times \sqrt{3}}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49\times 3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49} \times \sqrt{3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{7 \times \sqrt{3}}\\ &=\dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{7 \times \cancel{\sqrt{3}}}\\ & \end{aligned}$
Exemple 5
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{147}} &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49\times 3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{49} \times \sqrt{3}}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{7 \times \sqrt{3}}\\ &=\dfrac{\cancel{\sqrt{3}}}{7 \times \cancel{\sqrt{3}}}\\ &=\dfrac{1}{7} \end{aligned}$
Exemple 6
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{72}} &=\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 6
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{72}} &=\sqrt{\dfrac{2}{2\times 36}}\\ &\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 6
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{72}} &=\sqrt{\dfrac{2}{2\times 36}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}\times 36}}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 6
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{72}} &=\sqrt{\dfrac{2}{2\times 36}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}\times 36}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{36}}\\ & \end{aligned}$
Exemple 6
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{2}{72}} &=\sqrt{\dfrac{2}{2\times 36}}\\ &=\sqrt{\dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}\times 36}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{36}}\\ &=\dfrac{1}{6} \end{aligned}$
Exemple 7
$\begin{aligned} \left(-2\sqrt{3}\right)^{2} &=\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 7
$\begin{aligned} \left(-2\sqrt{3}\right)^{2} &=\left(-2\right)^{2}\times \left(\sqrt{3}\right)^{2}\\ &\\ & \end{aligned}$
Exemple 7
$\begin{aligned} \left(-2\sqrt{3}\right)^{2} &=\left(-2\right)^{2}\times \left(\sqrt{3}\right)^{2}\\ &=4\times 3\\ & \end{aligned}$
Exemple 7
$\begin{aligned} \left(-2\sqrt{3}\right)^{2} &=\left(-2\right)^{2}\times \left(\sqrt{3}\right)^{2}\\ &=4\times 3\\ &=12 \end{aligned}$
Seconde - Cours sur la racine carrée
Sommaire
Définition de la racine carrée (slides 1-17)
Règles de calcul sur les racines carrées (slides 18-53)
Document PDF
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Les carrés parfaits
Définition de la racine carrée
Règles de calcul